1.  (a) Circle the words in the brackets that correctly complete the following sentence:

Suppose a 3 by 5 matrix A has rank r =3. Then the equation Ax = b (always / sometimes but not

always) has (a unique solution / many solutions / no solution).   

(b) Find determinant of matrix A without carrying out any computation and give a reason.

A = [ ]

(c) Compute the inverse of the following matrix.

[         ]

2.  In an economic model the endogenous variables x1, x2, … , xn  are related to the exogenous variables b1 , b2, … , bn  by the linear system

a21 x1  + a22x2  + ⋯ + a2nxn  =     b2

⋮                                   ⋮

an1x1  + an2x2  + ⋯ + ann xn  =    bn

, or in matrix form Ax = b.

Assume that the n × n matrix A has an inverse. For each choice of b the vector x is uniquely      determined by x = A −1  b. Suppose bj  changes to bj  + 6j , but all the other bi’s are unchanged.

The corresponding values of the endogenous variables will then (in general) all changed. Let the change in xi  be denoted by Δxi .

Show that Δxi  =  , where Cji  is the (i,j)th element of the adjoint matrix of A.

(Hint: apply Cramer’s rule)

3.  (a) Suppose Y  =  Y(t) is national product, C(t) is consumption at time t , and I is fixed investment. Suppose  Ẏ =  a(C  +  I  −  Y)  and C  =  FY  +  C0  ,  with  a  >  0  and F  >  0 .   Derive  a differential equation for Ẏ as a function of Y and the constants.                                          (5 Marks)

(b) Find its solution when Y(0)  =  Y0 . When is the equation stable (that is to have Y(t) being finite

when t → ∞)? What is Y(t) as t → ∞ in the stable case?          

4.  (a)  In a market the supply function is S(p) = −1 + 16p, and the demand at time t is D(p, t)  = 20e−2t   + 59 − 4p. Suppose the instantaneous rate of change of the price, ṗ(t) is 10% of the excess demand D(p, t) − S(p). At time t  =  0, p(0)  =  6.

(i) Formulate a differential equation for the price development.

(ii) Solve the equation in (i). What is the limit of the price as t → ∞?

(b) Solve the differential equation 2 + 4Ẋ − 30X = 3t2  − 2

5.  Solve the control problem

maX  ∫  (X − u2 )dt,

Ẋ = u, X (0) = 1, X (1) fTee,   u ∈ (−∞, ∞)