0    Disclaimer

Any of the computation tricks you have learned in first or second year calculus are fair game. You should know how to integrate and differentiate.  I will not ask anything really obscure, but if I’ve mentioned it in lecture or asked homework questions about it, then it’s not obscure. This is a calculus course, and you need to be able to do single variable calculus to succeed.

Aside from that, any material I have covered in the first half of the course is also fair game. I expect you to be able to perform complex algebra (including solving for nth roots), to be able to work with branchs, to differentiate, to find primitives, and so on. This is by no means an exhaustive list - if I taught it, know it.

The only topic I can guarantee you won’t show up is finding harmonic conjugates.

1    Integration

You should be familiar with a variety of techniques for integration: definition, the Cauchy integral theorem, the Cauchy Integral formula, and the general Cauchy integral formula.

To that end, you should be able to recognize when a function is analytic on a domain, to be able to pick out discontinuities that prevent you from using the CIT. You will need to be able to use the deformation theorem to handle having multiple discontinuities inside your curve, as well as knowing how to reduce an unpleasant curve into a manageable one.

You should know how integrating over a negatively oriented curve affects the integral, as well as how to handle curves that travel the same path multiple times (for example, going around a circle twice).

You should know how to justify your use of theorems to calculate integrals. I will expect you to verify the hypotheses of theorems before using the theorems.

You should know Liouville’s theorem and what it says about entire functions. You should know how to use it to tell if an entire function is bounded. This theorem is particularly useful in cooking up good proof questions (hint hint nudge nudge.) You should know he fundamental theorem of algebra and what it tells you about polynomials.

1.  Compute the folowing integrals.

(a)   焱z焱=1 s2(z)) dz

(b)   焱z焱=2 s2(z)) dz

(c)   焱z焱=3 s2(z)) dz

(d)   焱z焱=2 z31尸1 dz

(e)   ì   where γ(t) = (- cos(t), sin(t)) for t e [0, 2π]

(f)   ì   where γ(t) = (- cos(3t), sin(3t)) for t e [0, 2π]

(g)   尸ì z2 尸4(1)z+4dz where γ is the closed rectagle with vertices 0, i, -1 + i, -1 travelled once in that

(h)   尸ì z2 尸4(1)z+4dz where γ is the closed rectagle with vertices 3, 3i, -3, -3i travelled once in that order.

(i)   焱z尸3焱=1 z z(3)s2i尸(n)z) dz (j)   焱z尸3焱=2 z z(3)s2i尸(n)z) dz (k)   焱z尸3焱=3 z z(3)s2i尸(n)z) dz

(l)   焱z尸3焱=3 z(3)s2尸(in) dz

(m)   焱z焱=1 e义z(1)n dz where n is an arbitrary positive integer

(n)   焱z焱=2 z 3(z)尸(3)i dz

(o)   焱z焱=2  (z3尸(z3)i)2 dz

(p)   焱z焱=2  (z2 (z尸(1)1))n dz where n is an arbitrary positive integer

Solutions: In what follows, I will not be checking conditions of theorems rigourously. We will expect you to check the conditions on CIT and CIF when you use them on the test.  And to state that you are using CIT/CIF. You will lose marks for not checking conditions of theorems and not stating when you use CIT/CIF.

(a) 0. CIT.

(b) Does not exist. Function isn’t defined on the whole curve.

(c)  2πi sin(2). CIF.

(d)  2πi ╱  (1尸e2πi/31尸e4πi/3)  + (e2πi/3尸1)(e πi/32(1) 尸e4πi/3)  + (e4πi/3尸1)(e πi/34(1) 尸e2πi/3)、.  Use the deformation theo-

rem to break this into   焱z尸1焱=045  z31尸1 dz +   焱z尸e2πi/3焱=045  z31尸1 dz +   焱z尸e4πi/3焱=045  z31尸1 dz and then use

(e)  -2πi. CIF noting that the curve is negatively oriented.

(f)  -6πi. CIF noting that the curve is negatively oriented and travels the circle 3 times. (g) 0. CIT.

(h) 0. CIF (not CIT!). You’re differentiating 1.

(i) 0. CIT.

(j) Does not exist. Function isn’t defined on the whole curve.

(k) πi sin(1). CIF.

(l) πi(5 sin(1) + 2 cos(1)). CIF on the pole of order 2.

(m)  (尸 尸1(n−)1)!(2)宁i . CIF.

(n) 0.   Use the deformation theorem and CIF to integrate over each pole  (-i,  ,  and  尸^23+i)

separately, then add up the integrals.

(o) 0. Same method as the last part, except now you’re integrating over poles of order 2.

(p) 0. Deformation theorem and CIF. Nothing to it but to take some really unpleasant derivatives.

dn尸1     1  = (-1)n尸1 2n(2n + 1) . . . (3n - 2) = (-1)n尸1     (3n - 2)!    

dz2n尸1 (z - 1)n                                          (z - 1)3n尸1                                          (n - 1)!(z - 1)3n尸1 .

So, using the deformation and the CIF, we get that

1                  (-1)n尸1 2πi(3n - 2)!        (-1)2n尸1 2πi(3n - 2)!   

焱z焱=2  (z2 (z - 1))n                   (n - 1)!(2n - 1)!        (2n - 1)!(n - 1)!(-1)3n尸1

2. Prove the following:

(a) If f is an entire function such that Re(f) - Im(f) = 1, then f is constant.

(b) If f is an entire function such that Im(f) < 4, then f is constant.

(c) Let r e (0, o) and f : C → C be non-constant.  Prove that if If (z)I > r for all z e C, then f is not entire.

(d) If f is an entire function such that range(f)  C, then limz!( f (z)  o. (Hint: look at the proof of the fundamentl theorem of algebra.)

(e) Prove that every rational function with non-constant denominator has at least one isolated sin-

gularity.

(f) If p is a polynomial of degree n, then there exists z1 , . . . , zn  and a e C such that p(z) = a(z - z1 )(z - z2 ) . . . (z - zn ).

(g) . has ,...,...=1.

Solutions:

(a)  Consider g(z)  =  ef(z)+if(z) .   Note that f  and ez   are entire,  so g  is entire by the chain rule. Furthermore, Ig(z)I = eRe(f(z)+if(z))  = eRe(f(z))尸Im(f(z))  = e. Therefore, g is bounded. By Liouville, g is constant. By definition, g is non-zero.

Let g(z) = C for all z e C. Then f (z)+if (z) e log(C). Note that this implies that f (z)+if (z) is constant, since if it were not then it would have to jump between logarithms of C in a discontinuous way. (This argument can be formalized with the intermediate value theorem.)

So, f + if is constant. This gives us that Re(f + if) = Ref - Imf and Im(f + if) = Imf + Ref are also constant. This gives a linear system and solving that system then gives Ref and Imf are cosntant. So f is constant.

(b) Use Liouville on g(z) = e尸if(z) .

(c) Note that f (z)  0 for all z e C.  If f were entire, then g(z) =  would also be entire by the quotient rule.  But Ig(z)I = 焱fz)焱  <  is bounded.  This would give that g(z) is constant, so f (z) is constant.  This contradicts the assumption that f is non-constant, so f could not have been entire.

(d)  Suppose f is entire, z0  e\ Range(f), and limz!( f (z) = o.

Then g(z) = f(z尸z0    is entire by the quotient rule.  Furthermore, limz!( g(z) = 0.  Then there

EVT, there exists M  e R such that for z  e C with IzI s R we have Ig(z)I s M .  Therefore, Ig(z)I s min{1, M}.  So g is entire and bounded, hence constant.  Therefore, f is also constant,

contradicting that limz!( f(z) = o.

So we cannot have that limz!( f(z) = o.

(e) Let f(z) =  where p, q are polynomials. By assumption, q is a non-constant polynomial, so it

has at least one root z0 . That root is an isolated singularity for f . Indeed, it is either a removable singularity or a pole.

(f) Induct on the degree of p.  This is true if deg p = 1 immediately, since then p(z) = az + b = a ╱z -a(尸)b 、.

Assume the claim is true for polynomials of degree k . Suppose deg p = k + 1. By the fundamental theorem of algebra, p has a root zk+1 .  So p(z) = (z - zk+1)q(z) for some polynomial q of degree k .   By the assumption,  q(z)  =  a(z - z1 ) . . . (z - zk ) for some a, z1 , . . . , zk   e  C.   So p(z)  = a(z - z1 ) . . . (z - zk )(z - zk+1).

(g) As written, this is untrue. What I was thinking was that f =  for some polynomial p, but not

every rational function looks like this.

2    Sequences, Series, and Power Series

You should be able to find the limits of sequences similar to those I’ve shown or assigned.  Have an intuitive sense of whether a sequence converges or not.

You should be able to use various tests to see whether a series converges or not, as well as to compute the values of some convergent series.  You will need to know the divergence test, the ratio test, and about geometric series.

You should know how to find the radius of convergence of a power series, how to find a power series for

f(z) at an arbitrary center and you should know the basic easy examples: ez , sin(z), cos(z), 1 尸(1)z , any

3. Find the limits of the following sequences. (a) n

(b) the principal square root n 

(c) the principal nth root n 

(d)  e  for any θ e R (e)  

Solutions:

(a)  o

(b)  o

(c)  1. Rather than computing this limit, compute limn!( ln(n ) using L’Hopital’s rule. Get the limit we want from that limit using the continuity of ln.

(d)  1.

(e) 0. Compare this to the limit of  .

4. Which of the following series converge?

Solutions:

(a) No. This is a scalar multiple of the harmonic series, which diverges.

(b) No. This fails the divergence test.

(c) Yes. Compare to       .

(d) Yes. Compare to       .

(e) It converges absolutely. Compare to       .

(f) Yes. Absolutely. Ratio test.

(g) Yes. Absolutely. Ratio test.

(h) No. Fails the divergence test.

(i) Yes. The ratio test gives  .

5. Find the radii of convergence for the following power series.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(      zn

n=1  n

(           zn        

n=1 n2 +4n+6

(       zn   

n=1  (2n)!

(      zn

n=0 3n

  for z0  e C / {0}

(       2   n

n=1   nn

(      z2n

n=1   n

(       n2   (Hint: compare

 Izn2 I to a series you know.)

Solutions.

(a)  1. Ratio test.

(b)  1. Ratio test.

(c)  o. Ratio test.

(d) 3. Ratio test.

(e)  Iz0 I. Ratio test.

(f)  1. Ratio test.

(g) 0. Ratio test.

(h)  e. Ratio test. The ratio is  .

(i)  1. Ratio test on the series       , then substitute w = z2 .

(j)  1.  This converges whenever  IzI < 1 absolutely by comparing it to      zn .  It diverges when

z = 1. Note that there is no way to use the ratio test on this series.

6. Find power series for the following function.

(a)  z 1尸z0   centered at 0

(b)  z 1尸z0   centered at any z1   z0  (Hint: you want a z - z1  somewhere in the function before you start.)

(c)  ez + 3z sin(z) centered at 0

(d)  ez  centered at 1

(e) sin(z) centered at π

(f) sin(z) centered at 2π

Solutions:

(a)  - n  . Rewrite this asz(尸)01  ╱  1尸1  、  and use the geometric series formula.

(     (z - z1 )n   

n=0

(    zn               (    (-1)n z2n+2

(c)         n! + 3          (2n + 1)!  . Just add the power series together.

(d)      e(zn(尸)  Use the formula for the coefficients using the derivatives of ez . (e)      (尸 尸1宁)!)2n+1 . Use that sin(z) = - sin(z - π).

(f)      (尸 1(2)宁)  Use that sin(z) = - sin(z - π). Use that sin(z) = sin(z - 2π).

7. Which functions do the following power series represent?

(a)     (      nzn − 1

(b)     (1 + (-1) )znn

(c)     (      (1+(尸1)n )zn

n=2 n(n尸1)

(e)     (n + 2)(n + 1)zn

(f)     (      (n+k)!   n