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MAT334 Complex Variables

Homework 4 Solutions 

2022

1. Let γ 1 be the line segment from i to 2 + i and γ2 be the semicircle from i to 2 + i passing through 2i + 1. (1a) Parameterize γ 1 and γ2 .

Notice that γ2 is half of the circle centered at i + 1 with radius 1. We parameterize:

γ 1 (t) =i + t                  t ∈ [0, 2]

γ2 (t) = 1 + i − eit            t ∈ [0, π]

(1b)  Using your parameterization in part (a), evaluate lγ1 z(  +z¯ 1)dz and lγ2 z(z¯ + 1)dz .

By definition,

l  z(  +z¯ 1)dz = l 2 (i + t)(−i + t + 1)dt

= l02 t2 + t + i + 1dt

8

3

And,

lγ2 z(  +z¯ 1)dz = l0π (1 + i eit)(2 i eit )(ieit)dt

= l0π (1 i) − (1 4i)eit − (1 + 2i)e2it dt

= l0π (1 i) − (1 4i)(cos(−t) + i sin(−t))− (1 + 2i)(cos(−2t) + i sin(−2t))dt

= l0π ( 1 + cos(t) + 4 sin(t) − cos(2t) − 2 sin(2t))+ i (− 1  4 cos(t) − sin(t) − 2 cos(2t) − sin(2t))dt

= 8 + π + (2 − π)i

(1c) Let γ3 be γ1 − γ2 and evaluate lγ3 z(  +z¯ 1)dz and lγ3  dz .

We have that 1γ3 z(z¯+ 1)dz = 1γ1 z(z¯+ 1)dz− 1γ2 z(z¯+ 1)dz =  + 4 + 2i− (8 +π +(2 − π)i) = −  − π +πi . 

• Furthermore, note that γ3 is a piecewise smooth, positively oriented, simple, closed curve.

 Therefore, 1i(+)i) dz = 0 by the Cauchy Integral Theorem.

2. Let γ : [0, 1] → C be the curve given by γ(t) = i(1 t) − 2it .  Show that 'lγ cos(z)dz ' < 3e2  (Hint: Use question 4 on HW2).

• Note that γ(t) = i − 3it .

• Let L = {z ∈ C : Re z = 0}. We know from question 4 on HW2 that for all z ∈ L we have | cos(z)| ≤ e| Imz| . Further, note that γ(t) ∈ L for all t ∈ [0, 1].

For t ∈[0,  ], we have | Im(γ(t))| = |γ(t)| ≤ 1. For t ∈[, 1], we have | Im(γ(t))| = |γ(t)| ≤ 2.

Therefore, for t ∈[0,  ], | cos(z)| ≤ e and for t ∈[, 1], | cos(z)| ≤ e2 .

e([0),ine(32])s([),1 ] . Note that γ 1 has length 2 and γ2 has length 1. 'lγ cos(z)dz  ' 'lγ1  cos(z)dz  +' 'lγ2  cos(z)dz '

•  Since | cos(z)| ≤ e on γ1  and | cos(z)| ≤ e2  on γ2 , we have that M1  = max {| cos(γ1 (t))| : t ∈[0,  ]} e and M2 = max {| cos(γw (t))| : t ∈[, 1]} e2 .

 ML estimation now gives us

'lγ cos(z)dz  ' 'lγ1  cos(z)dz  +' 'lγ2  cos(z)dz ' 2e + e2 < 3e2

3. For a curve γ : [a, b] → C, define γR : [a, b] → R2  by γR(t) = (Re(γ(t)), Im(γ(t)). For a function f  : C → C, write f  = u + iv and define functions g , h : R2  → R2  by g(x , y) = (u(x , y), −v(x , y)) and h(x , y) = (v(x , y), u(x , y)).

(3a) Write lγR g · dγ and lγR h · dγ in terms of lγ f dz .

•  By the definition of the line integral for vector fields, lγR g · dγ = lγR udx − vdy and lγR g · dγ = lγR vdx + udy .

•  By the definition of the line integral for complex functions, lγ f dz = lγudx − vdy +lγvdx + udy .

Therefore, lγR g · dγ = Re (lγ f dz)and lγR h · dγ = Im (lγ f dz).

(3b) Prove that if f is entire, then g is conservative.

  Since f is entire, uy  = −vx .

•  Since g = (u, v), we have that 1 g2 = −vx  = uy g1 on R2 .

• From your second year calculus class, we know that since ∂1 g2 = ∂2 g1 on R2 , then g is conservative on R2 .

(3c)  If g is conservative, is f  entire? Prove your answer.

 No. Consider the following counterexample.

Let f (z) = z  . Note for x + iy ∈ C, f (x + iy) = x iy so g(x , y) = (x , y).

  By Cauchy-Riemann, f is not differentiable anywhere, and is not entire.

•  However, g is conservative. There are several ways to see this. We could note that ∂1 g2 = 0 = ∂2 g1 or that g has a potential function p(x , y) =  .

4. Let U ⊂ C be open and f  : U → C be analytic. For n ∈ N, we define an nth order primitive for f  on U to be any function F : U → C such that  = f .

Prove that if f is entire, then f has an nth order primitive for all n N.

 We proceed by induction.

•  Since f  is entire, it is analytic on the simply-connected domain C. By theorem 3.2.8 in the course notes, f has a first order primitive on C.

 Assume that f has a kth order primitive F on C for some k N.

•  Since  is defined on C and k ≥ 1, we have that  is defined on C. Therefore, F is entire.

•  By the n = 1 case, F has a first order primitive  on C.

• Then  =  = f . So  is a k + 1st order primitive for f  on C.

 Therefore, f has an nth order primitive on C for all n N by induction.