Part A - True or False

For each of the following statements, determine whether the claim is true or false.   Explain your reasoning. Answers without reasoning will receive 0. Each question is worth (2 points).

1.  (2 points) Since |ez | > 0 for all z 2 C, ez  is a bounded function.

Solution:    False. We know that ez  is not bounded, since it is a non-constant entire function. The issue here is that a function f (z) is bounded on C if there exists M 2 R such that |f (z)| < M for all z 2 C.

2.  (2 points) The series z1   converges everywhere by the ratio test since limn!1 I I = 0.

Solution:    False.  If you apply the ratio test to this series, you get limn!1 I I = limn!1  .  This

limit is 0 if |z| ≤ 1 and 1 if |z| > 1. So this series converges if and only if |z| ≤ 1.

3.  (2 points) Suppose the power series z0 anzn  converges at some w 2 C. Then it diverges for all z 2 C with |z| > |w|.

Solution:    False. If this were true, it would mean that power series centered at 0 could only converge at 0, which would be totally useless.

4.  (2 points) If p(z) is a non-constant polynomial, then the range of f (z) =  is C / {0}.

Solution:    True. We see right away that 0 is not in the range of f . Let w 2 C / {0}. By the FTA, there exists z 2 C such that p(z) =  . Then f (z) = w. So the range is C / {0}.

Part B - Long Answer

For each of these problems, you must fully justify your answers.

1.  Compute the following integrals. Unless otherwise stated, all curves are travelled once in the positive orien- tation.

(1a)  (5 points)

l|z+2|=1  dz

Created and edited by T. Janisse, and W. Li. Last updated 02:41  on Tuesday 3rd August, 2021. Template created by A. Zaman.

Solution:    Notice that  siz(n)(2(z4)   =  2(s)z(n))2  .   Let f (z) =  sin2z ) .   Notice that f  is entire,  and hence is

analytic on a domain containing the positively oriented, simple, closed, piecewise smooth curve |z+2| = 3 and its inside. Then, by the generalized Cauchy Integral Formula:

l|z+2|=1 dz = l|z+2|=1 dz = 2πif「(  2) = 2πi cos(  4)

(1b)  (5 points)

l|z|=7 z 4z(e) 3 dz

Solution:    Notice that this function has two poles: z = 1 and z = 3.  Both are inside the curve.  This function is analytic on C / {1,3}, so by the Deformation Theorem:

4dz = l|z   1|=2(1)      dz + l|z   3|=2(1)      dz

th(Le)e(t) p(f1)s(z)v(=)el(e)ient(an)e(d)d(f),2 i(z)pl(=)e(e)1lo(z)s(.)ed(N)op(t)i(i)e(c)c(e)e(t)wi(ha)s(t)e(f)1sm(is)oot(an)h(al)cu(yti)r(c)ve(on)|z(C)a(ic)n(h)d(is)its(a)i(d)n(o)sid(ma)e(i)n Al(co)s(n)o(t)a,if(n)2 i(in)s(g)

analytic on C / {1}, which is a domain containing the circle |z     3| =2(1)  and its inside.  So, by the Cauchy

l|z|=7 z 4z(e) 3 dz = l|z   1|=2(1)   dz + l|z   3|=2(1)   dz = 2πi(f1 (1) + f2 (3))

Computing gives f1 (1) = e1    and f2 (3) = e3 2e3  . All together,

l|z|=7 z 4z(e) 3 dz = πi(e3       e3       e + e 1 )

(1c)  (5 points) Let γ be the closed triangle with vertices  2i, 2i, and 7 travelled once in that direction.

lγ z 4z(e) 3 dz

Solution:    Notice that this curve is negatively oriented, simple, closed, and piecewise smooth. By the deformation theorem, we then get:

lγ z 4z(e) 3 dz =  [l|z   1|=2(1)   dz + l|z   3|=2(1)   dz ] =  2πi(f1 (1)+f2 (3)) = πi(e   e 1    e3 +e3 )

(1d)  (5 points) Let γ(t) = (4cos(t)   2)eit  for t 2 [0,2π]. (As pictured in this graph and below.) Compute:

lγ dz

Solution:    We break this curve into two pieces:  the outer curve and the inner one. We define the following curves:

γ1 (t) = γ(t),

γ2 (t) = γ(t), γ3 (t) = γ(t), γ4 (t) = γ(t),

t 2 [0,π/2]

t 2 [π/2,π]

t 2 [π,3π/2]

t 2 [3π/2,2π]

Then γ = γ1 + γ2 + γ3 + γ4  and the curves γ1 + γ4  and γ2 + γ3  are positively oriented, simple, closed, piecewise smooth curves contained.

Let f (z) = z4 . Then f is entire, hence analytic on a domain containing γ1 +γ4 and γ2 + γ3  and their insides. By the generalize Cauchy Integral Formula, we have:

lγ1 +γ4   dz = lγ2 +γ3   dz = f (3) (1) = 8πi

As such:

lγ dz = lγ1 +γ4   dz + lγ2 +γ3   dz = 16πi

2. (2a)  (4 points) Prove that the power series expression for f (z) = sin(z) centered at z0  =  is  (  +  ( )π4!)2n

Solution 1:    We compute the derivatives of f :

8>sin(z),

f (  )n (z) = s(s)),

:   cos(z),

n = 4k for some k 2 Z, k  0

n = 4k + 1 for some k 2 Z, k  0

n = 4k + 2 for some k 2 Z, k  0

n = 4k + 3 for some k 2 Z, k  0

So, f (n) ( ) =  if n = 4k or 4k + 1 and f (n) ( ) =  if k = 4k + 2 or 4k + 3.  Adding up the even terms of the power series (i.e., the terms of the form 4k and 4k + 2), gives:

 f (2n) (  )2n  =  ( )π4!)2n

And adding up the odd terms (the terms of the form 4k + 1 and 4k + 3) gives:

   (  

Adding these together gives us the desired power series:

sin(z) =            n!

=           (2n)!             +            (2n + 1)!

Solution 2:    We use the trig identity sin(a+ b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) with a =  and b = z   .

Since sin(z) =  ( for all z 2 C and cos(z) =  ( for all z 2 C, we have:

sin(z) = sin (  + (z  )) = sin ( ) cos (z  )+ cos ( ) sin (z  ) =   (  )2n  +   ( 1π4)2n+1

Which is the desired series.

(2b)  (4 points) Use the power series from part (a) to find a power series for cos(z) centered at z0  =  . Your

solution must use the power series from part (a).

Solution:    cos(z) =  .  Since sin(z) is entire, its power series converges everywhere.  Hence, we can differentiate sin(z) by differentiating its power series term by term. This gives:

cos(z) =  (2n +  )2n  +  (2n)()2n  1 =  ( )π4!)2n  +  (  

3.  Suppose f  is entire and there exists C 2 C such that the function g(z) =  is also entire. (3a)  (2 points) Find zli!m1f (z).

Solution:    Let w =  . Notice that zli!m1f (z) =w(li)m!0f ( ) =w(li)m!0g(w) = C , since g is continuous at 0.

(3b)  (2 points) Prove that there exists M , R 2 R such that if |z| > R, then |f (z)| < M .

Solution:    Let M  =  |C| + 1.   Let  ϵ =  1.   By the limit definition of limz !1 f (z), we see that there

f(x)iz(t)|R f(c)z(t)<and(im)s(p)o(li)|  e(B)ar(y)r(t)a(h)n(e)g(t)in(ri)g(a)ngiv(gle)es(i)f(e)

As such, there exists R 2 R such that if |z| > R, then |f (z)| < |C| + 1.

(3c)  (4 points) Use part (b) to prove that f (n)(0) = 0 for all n > 0. Use this to conclude that f  is constant.