Problem 1 Let A =  ┌ ┐

'13    9    10   _6     8 '.

a) [4 pts] Find a basis for N(A) in rational format.

b) [3 pts] Find a particular solution to the matrix equation A * x =  ┌ 5_2┐

14

c)  [3 pts] Use your answers in a), b) and the Superposition Principle to express the general solution in vector form to the matrix equation in b).

Problem 2 [10 pts] For a fixed matrices B, C ∈ R2×2, let W = eA ∈ R2×2  I A * B = 2A * C}. Determine if W is a subspace of R2×2  (either prove that it is, or show via specific counterexample that it isn’t).

Problem 5 Six data points are given by (_4, 2), (_1, 5), (0, 10), (2, 7), (6, 13), and (8, 9).

a) [3 pts] Find the least-squares fit by a linear function.

b) [3 pts] Find the least-squares fit by a quadratic function.

b) [4 pts] Find the smallest degree polynomial which fits the points exactly.

Problem 6 A bilinear pairing on R2  is given on basis vectors by

< e1 , e1  >= 13;        < e1 , e2  >=< e2 , e1  >= 7;        < e2 , e2  >= 26

a) [3 pts] Find the matrix representation of the pairing.

b) [4 pts] Explain why the bilinear pairing defines an inner product.

c) [3 pts] If v = [5   _ 3]T , find a non-zero vector w with < v, w >= 0

a) [4 pts] Using the [V, D] command in MATLAB with rational format, find a diagonal matrix D  and a matrix  V  of maximal rank satisfying the matrix equation A * V  =  V * D .   Is A real-diagonalizable?

b) [4 pts] Write down the eigenvalues of A. For each eigenvalue, find a basis for the corresponding eigenspace of A.

c) [4 pts] Define a pairing on R5  by < v, w >= vT * A * w. Show that this pairing is a bilinear symmetric pairing on R5 .  Is the pairing an inner product?   (you should justify your answer either way)

Problem 8 Let P4  be the space of polynomials of degree less than 4 with real coefficients. Define L : P4 → P4  by

L(p(x)) = 5x2p\\\ (x) _ (3x + 2)p\\ (x) + 7p\ (x)

a) [5 pts] Find the matrix representing L with respect to the standard basis S = e1, x, x2 , x3 } of P4 . Explain how this can be used to prove directly that L is a linear transformation.

b) [4 pts] Let S\ = e(4 + 3x), (2 _ x3 ), (1 + 5x _ x2 ), (x + x3 )}. Show that S\  is a basis for P4 .

c) [4 pts] Compute the base transition matrix S\TS .

d) [3 pts] Use a) and c) to compute S\LS\, the matrix representative of L with respect to the basis S\ .

┌ 4(3) ┐           ┌ 2_1┐           ┌ 7_2┐                       ┌ 1(_)0(4)┐

Problem 9 Let u1 =  '(') _2'('), u2 =  '(') 0  '('), u3 =  '(') 9  '(') . Also let v =  '(') _6'(') .

' 5  '           ' 5  '           ' 1  '                       ' 0  '

a) [4 pts] Compute prW (v) where W = Spaneu1 , u2 , u3 } c R5 .

b) [4 pts] Compute prW/ (v) where WL  denotes the orthogonal complement of W in R5 .

c) [3 pts] Compute the distance between v and W .

┌ 1(5) ┐            ┌ 3_2┐            ┌ _03┐

a)  [6 pts] Use the  Gram-Schmit algorithm to find an orthogonal basis for  W .   You should explicitly show each step of your calculation.

┌ 1_7(0)┐

' 11 '

b) [5 pts] Let v =   4   Compute the projection prW (v) of v onto the subspace W using the

'_1 '

orthogonal basis in a).

c) [4 pts] Use the computation in b) to compute the distance between v and W .

┌  ┐

Problem 11 Let A =  '''.

a) [3 pts] Compute the characteristic polynomial of A and find its roots.

b) [4 pts] For each eigenvalue of A find a basis for the corresponding eigenspace.

c) [3 pts] Determine if A is defective. Justify your answer.

d) [6 pts] If A is defective, determine the defective eigenvalue or eigenvalues, and find a Jordan chain  (or set of Jordan chains) in the corresponding generalized eigenspace that provides a canonical basis for that space.

Problem 12 Let B be the matrix given by

A =  ┌a(4)        b(0)

'b    (a + b)

where a and b are indeterminates.

_a2┐

2b'

a) [6 pts] Using row operations that exist for all values of a or b, together with cofactor expansion, compute the determinant of A expressed as a function of a and b.

b) [4 pts] Use this to determine a relation between a and b that provides necessary and sufficient conditions for the matrix A to be singular (your relation should be an equation involving a and b).

For the following six questions, indicate whether the following statements are true or false.  In each case give a reason for your answer.

Problem 13 [10 pts] If L : V → W is a linear transformation of vector spaces and U c W is a subspace of W , then ev ∈ V I L(v) ∈ U} c V is a subspace of V .

Problem 14 [10 pts] The set eA ∈ R2×2  I A is nonsingular} is a subspace of R2×2 .

Problem 15  [10 pts] If A, B  are two n × n matrices, then A is similar to B if and only if pA (t) = pB (t).