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Derivatives Securities (FIN 524B)

Global Master of Finance Program

Summer 2022

Final Exam

Question 1  (True-False-Explain Questions) NOTE: Grade depends on completeness and accuracy of explanation.

1a. The Risk Neutral Pricing Methodology’s assumption that investors are risk-neutral is unre-

alistic and therefore this methodology is not useful in pricing derivatives in the real world. Answer. False. In the Risk Neutral Pricing world, investors are risk-neutral because risks have been incorporated into the stock price, and hence the risk-neutral probability.  Risks have not disappeared, they are simply contained in the risk-neutral probability.

1b. It is possible to delta and gamma hedge a long position in a call option using the following

securities: a risk-free bond, the underlying stock and a put option on the underlying stock. Answer. True. To delta and gamma hedge, you need a bond, a stock, and a security that has positive gamma. A put option has the same gamma as the call option on the same stock with the same strike, therefore we can use it in the delta-gamma hedging portfolio.

1c. Recall that the Implied Volatility Smile (Smirk) is obtained by plotting implied volatilities of options with the same maturity on the same stock against different moneyness ( ) values. If the Black-Scholes-Merton model priced options accurately (that is, if it produced the same prices as the market prices), then we would get a straight line instead when we plot implied volatilities against moneyness.

Answer.  True.  If the Black-Scholes-Merton model priced options accurately, the implied volatility should be the same as the volatility used in the model, which is a constant.

1e. The  Stochastic Volatility Models can improve the underpricing of out-of-the-money put

options by the Black-Scholes-Merton model by allowing the stock price’s volatility to have a negative correlation with the stock price.

Answer. True. If there is a negative correlation between the stock price and its volatility, the stock price becomes more volatile at low prices. This increases the prices of out-of-the- money puts since an increase in volatility leads to an increase in option prices.  Therefore out-of-the-money puts should become less underpriced.

Question 2   (Binomial Trees) Suppose the stock of FIN524B, whose current price is S0  = 20, can either increase by u = 1.1 (to S0u), or decrease by d =   (to S0 d) every 6 months.  Assume that the stock pays no dividends, and the continuously compounded interest rate is r = 2%.

2a. Use a two-period Binomial tree and the risk neutral pricing methodology to compute the

price of an American Put option on this stock with strike price K = $21 and expiring in 1

year.

Answer. The risk-neutral probability is

erh   d       e0.02 x  0.909

 d           1.1 0.909

The stock prices are

S1u  = S0u = 22, S1d  = S0 d = 18.18

S2uu  = S0u2  = 24.2, S2ud  = S0ud = 20, S2dd  = S0 d2  = 16.529 The option payoffs at date 2 are

p2uu  = 0, p2ud  = 1, p2dd  = 4.471

The option payoffs at date 1 are

0 .02

p1u  = max{21 − 22, e_   2       × 0.471 × 1} = 0.466

0 .02

p1d  = max{21 18.18, e_   2     (0.529 × 1 + 0.471 × 4.471)} = 2.82

The option price at date 0 is

0 .02

p0  = max{21 20, e_   2     (0.529 × 0.466 + 0.471 × 2.82} = 1.559

2b. Use a two-period Binomial tree and the risk neutral pricing methodology to compute the

price of an American Call option on this stock with strike price K = $21 and expiring in 1 year. How is this option different from a European Call option with the same terms?          Answer. The option payoffs at date 2 are

c2uu  = 3.2, c2ud  = c2dd  = 0

The option payoffs at date 1 are

0 .02

c1u  = max{22 21, e_   2       × 0.529 × 3.2} = 1.676, c1d  = 0

The option price at date 0 is

0 .02

c0  = max{20 21, e_   2       × 0.529 × 1.676} = 0.878

Not different from an European call option since we never exercise this option early.

2c.  Suppose that the continuously compounded interest rate rises to r = 5%.  How does the

value of the American Put option from part (a) change? Provide intuition for this effect of the change in the interest rate.

Answer. The risk-neutral probability now is

erh   d       e0.05 x  0.909

 d           1.1 0.909

The stock prices are and the option payoffs at date 2 are the same as before.  The option payoffs at date 1 are

0 .05

p1u  = max{21 − 22, e_   2       × 0.391 × 1} = 0.381

0 .05

p1d  = max{21 18.18, e_   2     (0.609 × 1 + 0.391 × 4.471)} = 2.82

The option price at date 0 is

0 .05

p0  = max{21 20, e_   2     (0.609 × 0.381 + 0.391 × 2.82} = 1.302

The value of the put option becomes lower as the interest rate increases. Intuition: Instead of buying put options, you can short the stock instead and put the proceeds from the short position in a bank account and earn a high interest. As the interest rate increases, shorting becomes more attractive than buying put options, driving down their prices.

Question 3   (Black-Scholes Formula) Suppose a trusted source told you that Gilead Sciences’ clinical trial of remdesivir, an experimental antiviral drug being tested for coronavirus, will likely be a great success when the result is announced in a month. You want to take advantage of this information and trade Gilead’s stock, but unfortunately you don’t have enough cash to buy shares of the stock, which is traded at S0  = $80 per share (the broker that you use does not allow buying or selling of fractional shares).  Since you really want to exploit your information, you decide to trade options on the stock whose prices per unit are much lower compared to the stock price and therefore fit your budget.  To keep it safe and to lower your buying cost, you decide to build a strategy that only generates a payoff between $0 and $20. Assume that the annualized volatility of the stock return is σ = 60% and that the stock does not pay dividends. The current annualized risk free interest rate is r = 2%.

3a.  Suppose that traded options on Gilead’s stock only have strike prices of $100 or less. What

is the combination of 1-month call options that generates a payoff between $0 and $20, assuming that you want to use as few positions as possible?   Be as accurate as possible about the positions taken, and draw a payoff diagram of each of the securities used and also of the combined position. Make sure to label all lines and axes.

Answer. Long one ATM call and short an OTM call with strike = $100. Other combinations are possible, but this is the one with the fewest number of positions.

3b. Use the Black-Scholes-Merton formula to calculate the cost to of setting up the combination

of call options you described in part (3a.).

Answer. Cost = Call(S0  = 80, K = 80) Call(S0  = 80, K = 100), with maturity T =  .

ln() + (r + )T

σ ^T

d2  = d1 σ ^T = 0.077

and

N (d1 ) = 0.536, N (d2 ) = 0.468

So

Call(S0  = 80, K = 80) = S0 N(d1 ) Ke_rT N(d2 ) = 5.502

Next, the OTM call price:

ln() + (r + )T

σ ^T

d2  = d1 σ ^T = 1.365

and

N(d1 ) = 0.117, N(d2 ) = 0.087

So

Call(S0  = 80, K = 100) = S0 N(d1 ) Ke_rT N(d2 ) = 0.674

So the cost of the portfolio is

Call(S0  = 80, K = 80) Call(S0  = 80, K = 100) = 5.502 0.674 = $4.828

3c.  Suppose you decide to change your strategy and buy an at-the-money call option that ma-

tures in one month instead. Suppose further that you want to delta and gamma hedge this position using a call option on the same stock that has the same maturity of one month, but with a strike price of K1  = $85. Calculate this delta-gamma hedging portfolio.

Answer. The portfolio consists of B in bond, N in stock and Nc in Call(S0  = 80, K1  = 85). To calculate N and Nc , we need

∆(S0 , K = 80) = N(d1 ) = 0.536

d1(2)

1          e_ 2  

S0 e_6T σ ^T ^2π

For the K1  = 85 strike call, we need to calculate

ln() + (r + )T

σ ^T

d2  = d1 σ ^T = 0.427

and

N(d1 ) = 0.401, N(d2 ) = 0.334

So

Call(S0 , K1  = 85) = 3.737

and

∆(S0 , K1  = 85) = N(d1 ) = 0.401

Γ(S0 , K1  = 85) =   = 0.0297

So we have

Nc  =  Γ(S0 , K = 80  = 0.973

The bond position is given by

B = Call(S0 , K = 80) NS0 Nc Call(S0 , K1  = 85) = 4.828 0.146×800.973×3.737 = 10.488