1.  Consider the initial-value problem dy(t)/dt = f (y(t), t), y(0) = y0  on t  > 0.  A numerical solution is sought on the grid tn  = nh, n = 0, 1, 2, ... with a constant step size h. At the grid points y(tn ) _ yn .

(a) Derive a forward Euler approximation of the differential equation and explain

carefully whether the forward Euler method is stable or unstable.  Apply the results to the case f (y, t) = zy2 z t4 .

(b) The second-order Runge-Kutta (RK2) approximation is written as yn+1  = yn + h [a1 f (yn , tn ) + a2 Fn] ,

Fn  = f (yn + a3 hf (yn , tn ), tn + a4 h),

with constant parameters a1 −4 .

(i) Derive an expression for the local truncation error in the solution (LTE) in the form LTE = Mh3 +O(h4 ) with the coefficient M written explicitly in terms of the function f (y, t) and its partial derivatives.  In the derivation, state the conditions imposed on the parameters a1 −4  for the method to be second-order accurate.

(ii) Let f = yp  with constant p  0, 1. Show that with a suitable choice of the parameters the RK2 method will have the LTE of order O(h4 ).

2.  Consider the partial differential equation

ut + u北北北  = 0.

The equation is solved on the grid xn  = n∆x, tm  = m∆t, with integer n, m using a leap-frog approximation for the time derivative and a central approximation in x.

The finite-difference scheme is proposed in the form

∆t  

(∆x)3

(a) Derive an estimate for the local truncation error in the equation and hence

show that the finite-difference scheme is consistent with the partial differential equation.

(b) Determine the von Neumann stability of the finite difference solution.

4. The equation for the deformation of an elastic bar under axial loads is given by  _AE 、 + q = 0,

where u = u(x) is the axial displacement, A is the cross-sectional area of the bar, E is Young’s modulus of the material and q = q(x) is any distributed axial load. We consider the problem of a uniform elastic bar hanging under its own weight (see figure below).  For this problem q = ρgA, with ρ the density of the material and g the acceleration due to gravity, and the boundary conditions are given by

u(0) = 0,           F (L) = 0,

where F = AE  is the force in the bar and L is its unstressed length.

(a) Derive the weak formulation for this boundary-value problem.

(b) Write down and solve the FE equation for a single 2-node element.  Give the

FE solution for the displacement u as a function of x.

(c) Write down the FE equation for a uniform mesh of an arbitrary number n of 2-node elements with all boundary conditions applied.  Solve the equation for n = 2.  Find the extension of the bar and the reaction from the support. How do these two answers compare with the exact solution of the problem? Substantiate your answer.

on the 4-node isoparametric quadrilateral element shown below. The parent element is the square element with coordinates (ξ, η), where z1 s ξ s 1 and z1 s η s 1. g = g(x, y) is a given function.

y

(2,4)           (4,4)

(0,0)           (2,0)                        x

The boundary conditions are:   = y along the side connecting nodes 2 and 3, and  = 0 elsewhere along the boundary. Here  is the normal derivative.

(a) Derive the weak formulation for this boundary-value problem in terms of the

physical coordinates (x, y).

(b) Explicitly calculate the entry K11  of the finite-element stiffness matrix for this problem. Also give an explicit integral expression for the component fl1   of the load vector.

(c)  Calculate the boundary vector for this problem.