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Control Systems Analysis and Design M (ENG5314)

2020

SECTION A

Attempt BOTH questions

 

Refer to the closed-loop system shown in Figure Q1(a)

Derive the closed-loop equations relating the plant output y to the signals r, d, and n. Discuss how should the feedback system be designed in order to respond appropriately to  each  of these  signals  and what  the  associated  limitations are.                                                                                                                   [5]

 

Figure Q1(a)

(b)

Derive an expression linking the vector margin Sm of the closed-loop system to the  peak  magnitude  of the  sensitivity  function  SO .  Derive  an  equivalent expression linking the complementary vector margin Tm   of the closed-loop system to the peak magnitude of the complementary sensitivity function TO . Briefly  discuss  the  relevance  of these  expression  in  relation  to  stability

robustness of the feedback system.                                                                    [5]

(c)       Consider the linear state space-system

Ẋ (t) = AX(t) + Bu(t)    X (0)= X0

y(t) = CX(t) + Du(t)

Show how  a  linear transfer  function  G(S)  can be  derived.  Explain which element of the linear state space representation cannot be represented in the

linear transfer function G(S).                                                                           [5]

(d)       In your own words, explain what is meant by controllability in the context of

state feedback control. Describe a test for controllability of a state space system. [5]


Q2       (a)        Show that the sensitivity So  is equivalent to the relative changes in Towhich

result from changes in the plant Po , i.e. show that So  = −  . Explain in your

own words what the significance of this result is.                                           [5]

(b)

Explain why it is highly undesirable to have low-frequency measurement noise in a feedback system, and discuss why high-frequency measurement noise is

relatively unimportant.                                                                                        [5]

(c)       Explain what is meant by observer canonical form of a state-space system. Given the transfer function:

G(s) =

derive the state-space description in observer canonical form.                       [5]

(d)       Explain in your own words what is meant by the Separation Theorem in the context of state-estimator feedback control.                                                    [5]


SECTION B

Attempt ONE question

Q3

(a)

 

 

 

 

(b)

Consider a  feedback control  system with  loop  gain  Lo (S). Discuss  design targets of the closed loop system in terms of the sensitivity function So (S) and the complementary sensitivity function To (S). How can these design targets be

translated into requirements for the frequency response of Lo ?                      [6]

Consider a PID controller.

(i)        State the control law in the time domain and in the Laplace domain. [3]

(ii)       Derive the transfer function of the PID controller in terms an overall

controller gain K, a time-constant associated with the integral term, TI , and a time constant associated with the derivative term, TD . What are

the poles and zeros of C(S)?                                                                [4]

(iii)      Sketch the Bode frequency response of a PID controller with K = 100,

TI  = 1  and TD  = 0.05. Clearly mark the corner frequencies and the corresponding asymptotes of the magnitude and phase components of

the frequency response.                                                                       [4]

(iv)      Describe how the PID controller can be extended to make it realisable.

Based in the numerical values in Q3(b)(iii), choose a suitable value for the extra component and explain your choice. Amend the Bode plot of

the PID controller accordingly.                                                              [3]

Q4

(a)

Explain in your own words what is meant by state estimator feedback control. Use a block diagram to illustrate your explanations and mark the elements which   form   the   compensator.   Discuss   the   reasons   for   using   a   state estimator.                                                                                                              [5]

(b)

For  the  structure  described  in  (a),  describe  in  detail  the  state  estimator (observer). Derive the equations for the state estimation error (t) = X (t) −

(t) and discuss its behaviour.                                                                           [5]

(c)       Consider the plant

[Ẋ(Ẋ)2(1)] = [ ] [X(X)2(1)] + [23(2)] u

y = [1    0] [X1 ]

Derive the observer gain vector L such that the closed loop observer poles are

located at - 100 and - 110.                                                                                 [5]

(d)       Describe a test for observability of a state space system. Show whether the following system is observable:

Ẋ(Ẋ)2(1)⌋ = [ ] [X(X)2(1)] + ⌊2(5)u

y = [ −2    1] [X(X)2(1)]

[5]