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Control System Analysis & Design M (ENG5314)

2018

SECTION A

Q1

(a)

 

 

 

(b)

Compare  and  contrast  the  properties   of  open-  and  closed-loop  control structures. In your analysis, focus on the characteristics of each structure with respect to plant disturbances, changes in the plant gain, and stabilisation.     [5]

Refer to the closed-loop system shown in Figure Q1. Define the sensitivity function So  and the complementary sensitivity function To  and show explicitly how these transfer functions determine the properties ofthe system with respect

to reference, disturbance and measurement noise signals.                                [5]

 

Figure Q1

(c)       Consider the linear state space system

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

with x(0) = x0 . Show how a linear transfer function G(s) can be derived.   [5]

(d)       Given is the equation of motion of a pendulum as

(t) + C ė(t) +  sin e(t) = T (t)

Linearise this equation and present it in the standard state-space form of a differential equation,

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

with the angle θ as the output, and the external torque τ as the input.            [5]


Derive an expression linking the vector margin Sm of the closed-loop system to the  peak  magnitude  of the  sensitivity  function  So .  Derive  an  equivalent expression linking the complementary vector margin rm   of the closed-loop system to the peak magnitude of the complementary sensitivity function To . [5]

Show  that  the  sensitivity  So    is  equivalent  to  the  relative  changes  in  the complementary sensitivity To  which result from changes in the plant Po , i.e.

?T0/T0

SECTION B

Q3

(a)

 

 

 

 

(b)

(c)

Describe design goals which one aims to achieve when using feedback control. Relate these to requirements for the complementary sensitivity function To  and the  sensitivity  function  So ,  and  explain  how  these  can be  translated  into

requirements of the magnitude and phase of the loop gain L .                          [6]

Describe what is meant by controller design using loop-shaping.                   [4]

Consider a PID controller in the context of frequency response design using loop-shaping.

(i)        What  are  the  three  components  of the  PID  controller?  Give  their responses in the Laplace domain.                                                           [3]

(ii)       Derive the transfer function of a PID controller C(s), and express the

result in terms of a gain K, a time constant relating to the integral term,

Ti , and a time constant relating to the derivative term, Td . What are the

poles and zeros of C(s).                                                                         [4]

(iii)      Based on the transfer function derived in (ii), sketch the Bode frequency

response plot of an ideal PID controller.                                               [3]

What is meant by state estimator feedback control. Use a block diagram to illustrate   your   explanations   and   mark   the   elements   which   form   the

compensator. What are the advantages of using a state estimator?                 [5]

For the structure described in (a), describe in detail the structure of the state estimator (observer) and discuss the behaviour of the state estimation error

(t) = X(t) − (t).                                                                                        [5]

Consider the plant


10    1]          「0]

x(t) = |L20    0x(t) + |L2u(t)

y(t) = [1   0]x(t)

Calculate the observer gain vector L such that the closed loop observer poles

are located at -80 and -90.                                                                                [5]

(d)       Describe a test for observability of a state space system. Show whether the following system is observable:

x1 ]   3    1]「x1 ]   「10]

|    | = |          | |    |+ |    |u

 

 

Lx2

[5]