Start a new page clearly marked Question 1

1. We would like your help determining how long these test papers will take to mark. Imagine organising the test papers from most time consuming to least time consuming to mark.  Develop a model for the fraction of time it takes to mark an accumulated fraction of the test papers.  That is, let P be the accumulated fraction of papers marked and T be the accumulated fraction of time.

i) [3 marks] Develop a power law model for T as a continuous function of P .  That is, assume T = cPa .  Given the information above, which pa- rameters are known and which are unknown, and what are their bounds?

ii) [4 marks] Based on our experience, the most time consuming 20% of exams take approximately 80% of the total time to complete.  Use this information to refine your power law model of T (P).

iii) [6 marks] Looking more closely at data from past years, we found that the 10 most time consuming papers, out of a total of 100, took 8 hours to mark.  Assuming papers for the present exam are as time consuming to mark on average as in past years, use your model to predict how long all 50 exams this year take to mark.

iv) [7 marks] When testing the model for T (P) against an independent data set, you find that it underestimates the total marking time for 50 papers by 1 hour.  You convert the model into a prediction for the time taken per exam using

[Predicted time to mark all exams] dT

[Total number of exams]           dP .

The correlation coefficient between the actual and predicted time per exam is close to 1 (0.99 < T < 1.01). The residuals are non-zero but approximately constant. Based on this information, develop a new model for T (P).

Start a new page clearly marked Question 2

2. For an upcoming mission NASA is developing a model for the force (F) placed on a space craft as it travels through the atmosphere of Titan, one on Saturn’s moons. You collectively determine that the following variables are important: the size of the spacecraft (W), the speed of the spacecraft (V), the viscosity of the atmosphere (µ) and the density of atmosphere (ρ).

i) [12 marks] Determine a complete set of dimensionless products based on the relevant variables in this problem such that the dependent variable (the force) only appears in the first dimensionless product (Π 1 ).  Make clear all assumptions.

ii) [4 marks] Use Buckingham’s theorem to derive a model for the force as a product of some of the remaining variables multiplied by an unknown function of the second dimensionless constant (f(Π2 )).

iii) [4 marks] Assume the viscosity of Titan’s atmosphere is the same as Earth’s but the density of Titan’s atmosphere is 4.4 times larger than Earth’s. Use your model to determine at what speed would NASA need to test the spacecraft in Earth’s atmosphere so that it experiences the same force as it would in Titan’s atmosphere?

Start a new page clearly marked Question 3

3. Consider the transfer of nicotine in the human body. A nicotine patch injects nicotine into the blood stream at a rate I with  [I]  =  M/T.   Assume the nicotine instantaneously mixes evenly throughout the constant blood mass B ([B] = M) in the human body.   Blood is filtered by the liver at a rate U ([U] = M/T) with all of the nicotine being removed from the filtered blood and transferred to the liver and then removed from the human body via urine.

i) [4 marks] Given the following differential equation describing the rate of change of the mass of nicotine in the blood (N),

dN

= I - kN,

dt

determine a dimensionally consistent formula for k based on the other variables above.

ii) [3 marks] The half life of nicotine in the blood is approximately 2 hours. Assuming the total blood mass is 5 kilograms, estimate the filtration rate U .

iii) [10 marks] Determine the evolution of the amount of nicotine in the blood as a function of time when someone with no nicotine in their blood initially, applies a 1mg/hour nicotine patch for 12 hours then removes it. That is, solve for N (t), given

I(t) =

0 < t < 12 hours

t 2 12 hours.

iv) [3 marks] New hair is produced at a rate of approximately  1g per day with a concentration of nicotine 10 times that of the blood and this nicotine is removed from the blood in addition to removal via filtration of blood by the liver. The hair retains its nicotine concentration until it is cut.  Include this effect in your model and determine the equilibrium amount of nicotine in a head of hair of 100g, for someone that applies 1mg/hour nicotine patches perpetually.