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MTH107 Problem Sheet 1 (Week 1 2021/22)

Tutorial questions

1. Let X = {a} and Y = {b, c}.

  List all possible functions from X to Y (you may draw a diagram).

  List all functions from Y to X .

  Compose a function from the first list with a function from the second list (in either order). What

are all the different functions that arise in this way?

2. Let X ,Y , Z be sets and suppose that f : X → Y and g : Y → Z are functions.   Show that if f and g are injective then g ∘ f is injective.

  Show that if f and g are surjective then g ∘ f is surjective.

  If g ∘ f is injective then what can you say about f or g? What if g ∘ f is surjective?

3. Recall that F stands for R or C. Prove that Fn satisfies the distributive properties, that is, for all a, b ∈ F and u,v ∈ Fn we have:

  a(u + v) = au + av ,

 (a + b)v = av + bv .

The identity map on a set X is the function idX  : X → X given by idX (x) = x for all x ∈ X .

4. Let f : X → Y and g : Y → X be functions. Suppose that g ∘ f = idX . Does it follow that f ∘ g = idY ?

Further questions

5. Let X and Y be finite sets and f : X → Y be a function.

  Assume that f is injective. Find a function g : Y → X such that g ∘ f = idX .

  Assume that f is surjective. Find a function g : Y → X such that f ∘ g = idY . The following questions are intended as revision for some Year 1 Linear Algebra.

6. Solve the system of linear equations

x1 + 3x2 − 5x3 = 4

x1 + 4x2 − 8x3 = 7

−3x1 − 7x2 + 9x3 = −6.

7. Let A = ⎡      ⎤ . Find detA and A−1 .

⎣  −1   3   4 ⎦