Question 1

This table indicates the time (in days) taken for seven people to recover after a certain medical treatment.  The + signs represent censored observations, and Y is the number from your ID number.

(a) Use this data to obtain the Kaplan-Meier estimate of the survival function, S(t). [4 marks]

(b) Sketch the estimated survival curve by hand.                                     [2 marks]

(c) Calculate the probability that a person’s time to recovery will be less than 120 days.      [1 mark]

(d) A student says that this does  not  make sense  because the  Kaplan-Meier estimate  is supposed to  relate to time until death,  not time  until recovery. Comment on this suggestion.      [2 marks]

[Total 9 marks]

Question 2

This table indicates the time in weeks until death for 13 people who had different operations for a certain illness.  The + signs indicate censored observations.

Consider the Cox model: λB(t) = λA(t) eβ

where λA(t) denotes the hazard function for women receiving Treatment A, and λB(t) denotes the hazard function for women receiving treatment B. Note that λA(t) is the baseline hazard in this model.

(a) Derive the log partial likelihood function to estimate β, using these observations. [5 marks]

(b) Derive the score function, U(β), that comes from these observations. [1 mark]

(c) Derive the information function, I(β), that comes from these observations. [4 marks]

(d) Use these functions to perform a Score test to test the null hypothesis that β=0. Calculate the value of the test statistic and suggest an appropriate conclusion from this data. [5 marks]

[Total 15 marks]

Question 3

(a) Write  a  mathematical  formula  that  describes  the  “Uniform Deaths” (UDD) assumption.  Briefly explain its meaning.

Distribution  of [2 marks]

(b) Write down an expression for b-aqx+a under the UDD assumption.     [1 mark]

(c) In an investigation of mortality, the following data have been collected for lives observed in the year following age x, where:

ai is the time after age x when life i started being observed;

bi is the time after age x when life i will be censored.

ti is the time of death.

Show that the log likelihood for q for the Binomial model for this data, using UDD, is given by:

l (q) ∝ 3 log q +2 log (1-q) – log (5-q) – log (2-q)                                        [4 marks]

(d) Demonstrate that the maximum likelihood estimator (MLE) of q is approximately 0.644.               [2 marks]

(e) A student says that the MLE should be 3/5 =0.6, because 3 lives out of 5 died.

Explain briefly why this is not correct. [1 mark]

(f)  Calculate the standard error of the MLE.           [3 marks]

[Total 13 marks]

Question 4

An actuary works in the annuity pricing department of a large insurance company in a developed country.   That  country  has  had  many  unnecessary  COVID-19 deaths because of government incompetence, but the country recently elected a different president.

The insurance company has a very large data set of mortality data for annuitants from1995 until the present day.

A senior student has proposed a method for projecting annuitant mortality into future years:

1)  Exclude  all  past  deaths  where  COVID-19  was  mentioned  on  the  death certificate.

2)  Project non-COVID-19 deaths forward using a standard method such as Lee- Carter.

3)  Assume that there will be no COVID-19 deaths in the years 2023 onwards.

4)  Think carefully about COVID-19 deaths in the years 2021 and 2022.

Discuss the advantages and disadvantages of the student’s suggestion, listing the

factors that should be considered in reaching a conclusion. [Total 7 marks]