Q 1. Two XJTLU students (one male and one female) are working as a team in Merseylife Insur-

ance company at Suzhou. They are yet to take the module MTH223 after their internship.

(I) They consider to model the ground up loss amount via an equal mixture of an expo- nential distribution with mean 1/2, and a gamma distribution with parameters α = 3 and θ = 1/2.

(a) Determine the survival function of X.

(b) Determine the mean excess loss function e(x).

(c) Determine the hazard rate function h(x).

(d) Determine limx→o h(x) and limx→o e(x).

(II) They consider to model the claim count data via a counting random variable N, which is an (a, b, 0) member. Prove that

a + b

E[N] =

[7 marks]

(III) The supervisor of these two students is a XJTLU actuarial graduate, who has been taking MTH223 in 2018 with Dr.  Liu.  The data indicate that the sample mean is roughly equal to the sample variance.  Thus the supervisor suggests that they use a claim count model that has its mean equal to its variance.  An obvious choice is the Poisson distribution. Please help them to determine which of the following models may also be appropriate.                                                                                            [6 marks]

(i) A mixture of two binomial distributions with different means.

(ii) A mixture of two Poisson distributions with different means.

(iii) A mixture of two negative binomial distributions with different means.

Q 2.  Suppose that an insurance policy applies to the group-up loss, where the amount paid per

payment random variable Yp  is Pareto distributed with its parameters α = 5, θ = 200, and the number of payments Np  has a zero-modified binominal distribution (n = 4, q = 0.4) with a probability mass at 0, p0(M) , of 0.1 The actuary responsible of reviewing the previous actuary’s work decides to use a slightly different model for the next period based on the claim experience :

● the per payment random variable Yp  has the same distribution

● the distribution of Np  (see above) will be used instead for the number of losses NL

We assume that a loss results in a (non-zero) payment with probability 0.9 (independently of NL ).

(a) Prove that the new distribution for Np  is a zero-modified binominal distribution (n =

4, q = 0.36) with probability mass at 0 equal to 0.1395.                                   [8 marks]

(b) Discretize the distribution of Yp  using the method of rounding and a span h of 20. Calculate (to 4 decimal places of accuracy) all values up to a discretized amount paid of 40.                                                                                                                   [4 marks]

(c)  Calculate (to 4 decimal places of accuracy) the discretized distribution of aggregate payments up to a discretized amount of 40.                                                      [8 marks]

Q 3.  Suppose that an insurance contract offered by XJTLU non-life insurance company aims to

cover damages resulting from earthquakes. The XJTLU non-life insurance company offering the product uses the following assumptions to model the annual stop loss insurance. Annual aggregate losses S follow a compound distribution with annual frequency N and severity X (the usual assumption of independence of N and the X’s applies). The probability function of N is uniform on the integers from 0 to 4.  X has a uniform distribution on the integers from 1 to 5.  Annual stop loss insurance on aggregate losses has a deductible of 2.  The insurer collects a premium equal to the sum of the mean and standard deviation of the stop

loss. Find the stop loss premium.                                                                            [13 marks]

Q 4. Let X  be a Beta random variable with positive parameters a, b and probability density

function

f (x; a, b) = xa_1 (1 - x)b_1 ,    x e (0, 1).

(a)  Calculate the r-th moment, i.e., E [Xr ] for some r > 0.                                    [6 marks]

(b) For what values of a, b and λ is λX uniformly distributed on (0, 2), i.e., it has a constant probability density function g(x) = C1(xe(0,2)}  for all x e (0, 2) and some C > 0. Find

the value of C .

(c) Determine the distribution function of 1/Xr  for r > 0 if b = 1.

(d)  Calculate the probability density function of cX + d for any c > 0, d e R.

(e)  Show that if X and Y are independent exponential random variables with parameter

λ = 1, then X/(X + Y) has a Beta distribution.                                              [5 marks]