1. Discrete Distribution

· Poisson with parameter λ > 0 : A random variable X is said to have a Poisson distribution

denoted by X > P (λ) if X has the following probability function (p.f.):

λk e-λ

Pr(X = k) =     k!    ,    k = 0, 1, 2, ...

with 匝(X) = Var(X) = λ;

the moment generating function     MX (t) = 匝(etX ) = exp eλ(et _ 1){ ; and the probability generating function PX (z) = 匝 ╱zX、= expeλ(z _ 1){.

2.  Continuous Distribution

·  Gamma with parameters α > 0 and β > 0 : A random variable X is said to have a gamma

distribution denoted by X  > G(α, β) if X has the following probability density function (p.d.f):

xα - 1 e- 台(扌)

f (x) =  Γ(α)βα  ,    x < 0

匝(X) = αβ,    Var(X) = αβ2 , and   MX (t) = ╱ 、α      for t <  .

The gamma function Γ(α) is defined by

Γ(α) = .0 o xα -1 e-北 dx,    α > 0

with Γ(α + 1) = αΓ(α) for α > 0 and Γ(n + 1) = n! for n = 0, 1, 2, ...

· Exponential with parameter θ > 0. For x > 0 and k = 1, 2, ...,

f (x) = e-北/θ ,    F (x) = e-a(扌) ,    匝[Xk ] = θ

· Normal with parameters µ > 0 and σ 2  > 0 : A random variable X is said to have a normal distribution denoted by X > N(µ, σ2 ) if X has the following pdf:

1         ( 扌 −k)2

f (x) = ^2πσe-   2扌2     ,    _~ < x < ~

with                                                                                                         2  2

匝[X] = µ,    Var(X) = σ 2 ,  and MX (t) = eµt+ 扌 2t                        PAPER CODE: MTH 223/2018/19/Final EXAM           Page 2 of 8

· Pareto with parameters α > 0 and β > 0 : A random variable X is said to have a Pareto

distribution denoted by X > Pareto(α, β) if X has the following probability density function:

αβ α       

f(x) =

x < 0, or equivalently, X has the following distribution function

F (x) = 1 _ ╱ 、α ,

x < 0

3.  Others

·  (a, b, 0) class

pk -1  = a + k ,    k = 1, 2, ...

·  Zero-truncated Poisson with parameter λ > 0.

P1(T)     =

PT     =

eλ _ 1 ,    a = 0,    b = λ,

λk         

k!(eλ _ 1),

eλz  _ 1

eλ _ 1 .

·  Zero-modified distributions If we have a member of the (a, b, 0) class and replace p0 with

p0(M) , then the resulting distribution is a member of the (a, b, 1) class since

pk(M)                   b

· Panjer’s Recursion Let S be a compound random variable with primary random variable

N and secondary random variable M. Assuming that

–  N has probability mass function epn {

–  N is a member of the (a, b, 1) class, and

–  M has probability mass function efj { , then the probability mass function egk { of S satisfies

[p1  _ (a + b)p0]fk +3j(k)=1  ╱a + 、fj gk -j

gk  =                               1 _ af0                                             ,    k = 1, 2, 3...

Q 1.  Suppose the ground-up loss random variable X has the probability density funtion

f (x) = b ,  、+ (1 _ b) ,  、,    x < 0,

for b o (0, 1), α > 2 and θ > 0.

(a)  Show that the survival distribution of the random variable X, denoted by FX (x) or

SX (x), is

FX (x) = SX (x) = ╱ 、α  – b + (1 _ b) ╱ 、α ! .

(b) Determine the mean of X.

(c)  Show that the Value-at-Risk at level 100p%, namely VaRp (X), is given by VaRp (X) = θ  ! (-1/α _ 1 .

(d) Define Y to be an exponential random variable of identical mean to X.

i Find an expression for VaRp (Y) in terms of b, α and θ .  ii Find an expression for TVaRp (Y) in terms of b, α and θ .

(e) By determining the limiting ratio of the survival functions, find which random variable

of X and Y have the heavier tail.

Q 2.  Suppose that X is a mixture with the following components:

hXlΛ(x}λ) = λx,    x < 0

· Λ is a Gamma rv with parameters (2, β).

(a)  Show that the survival function of X is

SX (x) = ╱ 、2 ,

for x > 0.                                                                                                            [6 marks]

(b) Determine whether the distribution of X is a scale distribution and possesses a scale parameter. Justify your answer.

[6 marks]

(c) Determine 匝[X]. (Hint: use the fact that 匝[X] = 匝[匝[X}Λ]] and Γ(0.5) = ^π ).

[6 marks]

Q 3. Assume the ground-up loss X has a pure discrete distribution. The probability mass function

of X is given as follows:

Suppose a limit of 80, an ordinary deductible 15 and a coinsurance factor of 0.8 are applied to the loss X .

(a) Determine the cumulative distribution function of YP  , the amount paid per payment. [8 marks]

(b) Determine the value of 匝[YP ].

Q 4. Assume that an insurer’s portfolio has aggregate claims S where

S = (  

The primary random variable M has probability generating function

ln(1 _ β *t)

PM (t) = 1 _ q + q

where

ln(1 _ β(1 _ α))

ln(1 _ β)

and

β *  =         αβ         = 1

Also, the random variable’s eXi { form a sequence of i.i.d. random variable’s with common (geometric) probability mass function

fj  = ╱  、 j+1 ,    j = 0, 1, 2, ...

It is further assumed that the random variable’s eXi { are independent of M.

(a) Find 匝[S].

(b)  Calculate Var(S).

(c) Use the normal approximation to approximate Pr(S ● 1).

(d) Use Panjer’s recursive algorithm to find Pr(S ● 1).

Q 5.  Consider a counting random variable N with pmf

pk  =

k = 1, 2, ...

and p0  = 0, where 0 < q < 1 is a constant.

(a)  Show that N is a member of (a, b, 1) class and identify the value of the parameters a

and b.

(b)  Calculate 匝[N].

(c)  Consider a counting random variable M with probability mass function p0  = 0.2, p1  = 0.3, p2  = 0.3, and p3  = 0.2.

Is M is a member of (a, b, 0) class? Justify your answer.