1. Polar Coordinates

(Easy Level Question)

[5 marks] Integrate f (x, y) = x2 + y2  over the domain D bounded by:

x2 + y2 = 4, y = 0, y = x, in the first quadrant.

Refer to Q38 of Notes.

Integrate f (x, y) = x over D = {1 < x2 + y2  < 4} in the 2nd quadrant.

3. Ellipse Transformation  (Easy Level Question)

[10 marks] Refer to Q46, Q47 of Notes.

Question 46

Integrate f (x, y) = sin(2x2 + 4y ) over the region bounded by 2x22 + 4y2 = 4.

Question 47

Compute the volume above z = ^2x2 + y2  and below z = 2.

Strategy:

This surface is not given by a circular rotation, with r2 = x2 + y2 .

However, it is similar. We may take the ”radius” to be r2 = 2x2 + y2 , so we can still plot on the r _ z plane and do an ellipse rotation. Taking the projection of the volume onto the xy-plane gives an ellipse. Instead of integrating the 2D projection integral directly, we first perform the inner z integral, and use ellipse transformation onto the 2D integral.

4. Tetrahedron Transformation (Medium Level Question)

[5 marks] Refer to Q48, Q49 of Notes.

Question 48

Find the volume bounded by x + 2y + z = 2, x = 2y , x = 0, z = 0.

Strategy:

(Take any 3 planes, they intersect at 1 point. 4 points form a tetrahedron.)

Question 49

Compute the integral  D z _x_y where D is the tetrahedron given by (0, 0, 0), (1, 2, 3), (0, 2, 2), (_1, 1, 1).

5. Domain Bounded by 2 Expressions (Easy Level Question)

[10 marks] Integrate f (x, y) = xy2  over the domain bounded by:

y = x, y = 3x, xy2 = 1, xy2 = 2, in the first quadrant.

Refer to Q50 of Notes.

1.   D (x + y)(x _ y) over D bounded by x _ y = 0, x _ y = 2, x + y = 1, x + y = 2. 2x _ y

6. 3D Integral

(Medium Level Question)

[10 marks] D is the region in the first octant bounded by:

y = x2  and z = 1 _ y

Sketch the domain D .

Then, set up the integral of f (x, y, z) over the domain in 6 ways: orderings of dx, dy, dz . Refer to Q36 of Notes.

1. z = 1 _ x, y = 1

2. z = 1 _ y , x = y2

3. z = 1 _ x2 , y = 1 _ x

4. z = 1 _ y2 , y = x

5. y2 + z2 = 9, y = 3x

6. 2x + y + 2z = 1

7. Polar Curve

(Medium Level Question)

(a) [10 marks]

(b) [10 marks]

Sketch on the xy-plane the polar curves r = 1 + cos θ and r = 1 _ cos θ .

Find the area enclosed inside both polar curves.

Refer to Q40 of Notes.

a) Find the area enclosed by polar curve h(θ), but ouside of polar curve k(θ): h(θ) = r = 1 + cos(θ), k(θ) = r = 3cos(θ)

Strategy:

Plot the curve. Find the intersection between the polar curves. First choose the min and max value of θ as the outer integral, then r would start from the smaller value (inner polar curve) to the larger value (outer polar curve).

b) Sketch the curve r  =  1 + 2cosθ and find the area it encloses in the outer loop but out- side the inner loop.

Strategy:

This shape is complicated and it crosses itself. We can not apply the formula directly , we need to use symmetry and subtract the inner area.

8. This is a very difficult problem.

- Marks will only be given for correct steps toward the final answer.

- Do not attempt this question until you have finished the majority of the test.

- Show all steps, along with the necessary justifications.

- For full marks, the final answer and full correct justifications are needed.

This page is extra space for Q8.

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