(b)  In Einstein’s model of the thermal capacity of a solid, the partition func- tion is given by

Z = ╱ \3N   ,

where kB  is Boltzmann’s constant and ν is the vibrational frequency.  Show that in the high-temperature limit this becomes:

Z ~ ╱ 、3N   .

energy and heat capacity in this limit, and comment on whether the result is confirmed by experiment.                                    

(c)   Consider the plot below, of the Maxwell-Boltzmann occupancy fMB (E) of a single-particle state of energy E, as a function of (E - µ)/kBT.  With reference to the appropriate expressions, sketch the corresponding lines for the Fermi-Dirac and Bose-Einstein cases on a single plot, and explain the key features.

2    (a) The Einstein and Debye approaches predict a temperature dependence in the heat capacity of solids at low temperatures, while the classical approach does not. Explain the fundamental difference between the Einstein and Debye approaches on the one hand, and the classical approach on the other hand, which leads to this difference.  [No mathematics required.]           

(b)  Spin waves are collective excitations that propagate through the spin lat-tice of a magnetic material.   By analogy with the Debye model of phonon excitations, explain why there is a heat capacity associated with a spin wave system. 

(c)   Spin waves in ferromagnetic solids have a dispersion relation at low fre- quencies that may be approximated by the relation ω = Ak2, where ω is the angular frequency, k is the magnitude of the wavevector, and A is a constant. Assuming that there is only one polarization associated with each allowed wavevector, show that the density of spin wave states in this approximation is given by:

g(ω)dω = ω 1/2dω ,

where V is the volume of the sample.                                                   

(d)  Assuming that the energy spectrum for a spin wave mode is given by the simple harmonic oscillator expression and hence that the total internal energy of the mode follows the Planck relation U(ω) = 五ω/(e(五u/kBT) - 1), show that the total energy of the spin wave system may be written as:

Utát1/ = 4π2(五)A(V)B/2

umax        ω B/2dω      

o          e(五u/(kBT)) - 1 .