Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

STA256H5S LEC0101-LEC0102, Summer 2022

Assignment 2

Let X be a random variable. Show that

(a) If X is a discrete random variable that assigns positive probabilities to only the

positive integers, then

o

E(X) =       P (X > k)

k_1

(b) If X is a continuous random variable whose support is x > 0 and with the cdf

F (x), then

o

E(X) =        [1 _ F (x)]dx

(

Let X have the pmf p(x) =  for k = 1, 2, 3, ..., k and zero elsewhere.

(a)  Show that the mgf of X is

M (t) = ,

(b) Find E(X) both by the direct definition and mgf.

Let X be a continuous random variable with the pdf f (x) = e- lel, for x e R. Using Chebyshev’s inequality determine the upper bound for P (|X| > 5) and then compare it with the exact probability.

Let f (x, y) = e-e-亿 , 0 < x < o, 0 < y < o, and zero elsewhere, be the joint pdf of (X, Y). Then if Z = X + Y ,

(a) Find P (Z < 1) and P (Z < 3).

(b) Find P (Z < z) for 0 < z < o.

(c) Find the pdf of Z .

Let X1  and X2  have the joint pdf f (x1 , x2 ) = 2e-e1 -e2   for 0 < x1  < x2  < o, and zero elsewhere. Find the joint pdf of Y1  = 2X1  and Y2  = X2 _ X1 .

Let the conditional pdf of X1  given X2  = x2  be f (x1 |x2 ) = c1 x1 /x2(2)  for 0 < x1  < x2 , 0 < x2  < 1, and zero elsewhere. Further, let the marginal pdf of X2  be f2 (x2 ) = c2 x2(4) for 0 < x2  < 1 ,and zero elsewhere. Then

(a) Determine the constants c1  and c2 .

(b) Find P ( < X1  <  |X2  = ) and P ( < X1  < ).

Let X and Y have the joint pdf f (x, y) = 3x for 0 < y < x < 1 and zero elsewhere. Are X and Y independent? If not, find E(X|y).