Section A consists of spatial modelling questions, and Section B consists of time series modelling questions. Commented R code (and the outcomes/plots) should be part of your answers.

This assessment is worth 50% of the module mark.

You should submit a single pdf containing answers to A and B to the BART submission point.

The deadline for submission is 12 noon, 8th August.

A. Spatial modelling [100 marks]

You have just started work at an oceanographic consultancy. You are asked to interpolate a set of sea surface temperature data for one month in the Kuroshio region off the coast of Japan onto a grid with a resolution of .5. in both the E and N directions. We are going to assume a flat Earth!

The data are in the file kuroshio .csv.   You are also provided with an R program to read the data (readkuro .R).

Analyse the data and answer the following questions (indicative marks are given).

1.  Produce numerical and graphical summaries of the data. Comment on your findings and highlight any potential outliers in the data.  /1θ mαr&g/

2.  Check for isotropy (the function variog4 in geoR may be useful). Do you need a trend in the model?

/2θ mαr&g/

3.  Decide what spatial model you want to fit. You may want to try several and see which one fits best. Estimate the parameters of your chosen model by Maximum Likelihood and plot the expected value and variance for the estimate on the required grid. Validate your model or models.  /35 mαr&g/

4.  Repeat 3 but use Bayesian methods. Show your priors and the ensuing posteriors. Consider different priors and models and justify your choice of the final model.  Illustrate your results by plotting the mean and variance fields as well as some samples from the posterior fields.  /25 mαr&g/

5.  Comment on the difference and the advantages and disadvantages of the two methods of estimation.

/1θ mαr&g/

Note: fitting Gaussian processes becomes significantly more expensive as the number of data points increases. You may want to consider fitting models to a subset of the data for computational efficiency (consider how you might want to split the data, how you might use the left-out data).

B. Time series modelling [100 marks]

1.  The figures labelled A to E show five time series whose defining equations are given below.

i)  xt  = 0．8xt − 1 + et ,

ii)  xt  = et  _ 0．5et − 1 ,

iii)  xt  = 2xt − 1  _ xt −2  + et  + 0．5et − 1  + 0．4et −2 ,

iv)  xt  = et  + 0．1(250 _ t)et − 1 ,

v) xt  = xt − 1 + 0．9et − 1 + et .

In each case, et  _ N (0﹐ 1).

State, with reasons, which equation corresponds to which plot.  [10 mαr&s]

Fig A

0          50        100       150       200       250

Time

Fig C

0          50        100       150       200       250

Time

Fig B

0          50        100       150       200       250

Time

Fig D

250

Time

Fig E

0         50        100       150      200      250

Time

2.  The ACF and PACF are plotted below for 5 different series. Suggest appropriate ARMA models for each (A, B, C, D, E), giving reasons for your choice in each case.  [10 mαr&s]

ACF, Series A

PACF, Series A

15     20     25     30 

ACF, Series B

0       5      10     15     20     25     30

Lag

ACF, Series C

0       5      10     15     20     25     30

Lag

ACF, Series D

PACF, Series B

0        5       10      15     20     25     30

Lag

PACF, Series C

0        5       10      15     20     25     30

Lag

PACF, Series D

ACF, Series E

PACF, Series E