Section A

1.

(a)  (i) Find integers h, k such that 29h + 11k = 1. What is 1¯1- 1  in Z2(*)9 ?

2798

(iii) Solve x25  = 2 in Z29 .

(b)  Let S = Z[^−2] = {a + b^−2 : a, b ∈ Z}. What does it mean to say that S has

(b)  Let A =          ．(、) . Find an invertible matrix P and a diagonal matrix

(25 marks)

Section B

3.

(a)  (i) Let A, B and C be n × n matrices. Show that det ╱C(A)

B(0)、 = det A det B .

(ii) Show that det ╱A2AC(+)C2

(b)  (i) Let C be the matrix  ╱z(x)

．y

product of linear factors.

A(C)2(A)、 = (det A)4 .

   ．(、) . Use row operations to express det C as a

(ii) Let A =  ．(╱)      ．(、) . Use part (i) to find the eigenvalues of A. Deduce that

if b  c then A is diagonalisable. Is A diagonalisable if b = c?

[You will need to use ω = e2亓i/3  in  (b) .  Recall that ω 3  = 1 and 1 + ω + ω 2  = 0]

(25 marks)

4.

(a)  For each of the following sets G and operations ＋ determine, with justification, whether or not (1) ＋ is a closed binary operation (2) ＋ is associative, (3) there is

an identity element, (4) all elements have an inverse, (5) G under ＋ is a group (i)  G = M2 (R), the set of 2 × 2 matrices with real entries, A＋B = A + B + I2 ; (ii)  G = R, a＋b = a + b + a5 b5 .

(b)  Let G be a group: we define the centre Z(G) of G to be the set {g ∈ G : gh = hg for all h ∈ G}. For g, h ∈ G, we define the commutator [g, h] as g- 1 h- 1gh.

(i) Show that Z(G) is a subgroup of G.

(ii) Suppose g, h  ∈ G and  [g, h]  ∈ Z(G).   Show that for positive integers n, [g) , h] = [g, h])  = [g, h) ]

(iii) Suppose g, h ∈ G and [g, h] ∈ Z(G).  Show that if g and h have coprime orders, then gh = hg

(25 marks)