1.  (i) Find integers h, k such that 37h + 17k = 1. What is 17_1  in Z3(*)7 ?

(ii) Find 17358  in Z37 .

(iii) Solve x13  = 5 in Z37 .

(iv) Factorise 3145 into primes in Z and then into primes in Z[i], ex- plaining why they are primes. Hence find four ways of expressing 3145 in the form a2  + b2  where a, b e N with a 2 b.  Explain briefly why there are no other ways.

╱ 1/5

2 .  (a) Let A =  ．   2/5

( 2/5

2/5

1/5

2/5

2/5 、

2/5  ．

(i) Find an invertible matrix P and a diagonal matrix D such that P_1 AP = D .

(ii) Find an explicit formula for A脯  (n e N).

╱ 1 、

(iii)  Let  v脯    e  R3   be  defined  by  v脯+1    =  Av脯 ,  v0    =   ．(3(2)．．.   Find

lim脯_oo v脯 .

(b) (i) Let B e M脯 (R) and assume the characteristic polynomial cB (t) factorises as Πi(r)=1 (t - λi )fi, where the λi are distinct. Let ei  = dim(E入i), where E入i   is the eigenspace associated to λi . What is the condition for B to be diagonalisable?

╱ 1    a    0 、

(ii) Let B =  ．( 0    b    c．．, where a, b, c, d e R. Find for which values of

a, b, c and d the matrix B is diagonalisable, explaining your reasoning.

Find an expression for det A as a product of linear factors, explaining your answer.

(iii) Let B be the matrix

╱              4                   a + b + c + d      a2 + b2 + c2 + d2      a3 + b3 + c3 + d3 、

．                                                                                                                                         ．

( a3 + b3 + c3 + d3      a4 + b4 + c4 + d4      a5 + b5 + c5 + d5      a6 + b6 + c6 + d6 ． By considering AAT  or otherwise, find det B .

(iv) Let C脯  be the n × n matrix with entries cij  = Σk(脯)=1 ki+j _2 .  What is det C5 ? (You may leave your answer in terms of factorials.)

4.  (a) Determine if each of the following sets G under operation 大 forms a group, justifying your answer:

(i) G = {│ 0(a)   c(b) 、  : a, b, c e R and |ac| = 1}, 大 is matrix multiplication; (ii) G = {f : R -→ R}, where (f 大 g)(x) = f(x) + g(x) for all x e R;  (iii) G = {x e R : x 2 0}, a 大 b = |b - a|.

(b) Let G be the group with presentation

(x, y, z : x3  = y2  = z2  = e, yx = xz, zx = xyz, yz = zy)

and normal form {xiyj zk  : 0 < i < 2, 0 < j < 1, 0 < k < 1}.

(i) Find the order of each element of G.

(ii) The non-trivial groups of order < 6 are C2 , C3 , C4 , C2  × C2 , C5 , C6 , S3 . For each of these groups, how many subgroups of G are there isomorphic to it?