Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

6CCM388A  Mathematical Finance I: Discrete Time

Summer 2021

1.      Part I. In the single-period binomial asset pricing model consider two assets: a stock and a bank account. The price of one share of stock is S0 at time t = 0 and moves up to S1 (H) with probability p > 0 and down to S1 (T) with probability q = 1 O p.  One unit in the bank account at time t = 0 becomes 1 + r at time t = 1. Recall that H represents the head, T the tail and r the interest rate.

A dealer contracts at time t = 0 the obligation to pay an investor the amount S1(2)  at time t = 1, where S1  is either S1 (H) or S1 (T), whichever turns out. The dealer hedges this derivative by trading in the two assets. Assume that there is no arbitrage and the stock pays no dividends.

i. Find the replicating portfolio of this derivative. That is:

a.  Show the number of shares of stock must be:

∆ = S1 (H) + S1 (T).

[10%]

b.  Show the dealer must invest:

S1 (H)S1 (T)

1 + r

in the bank account.

[10%]

ii.  Show that the price of this derivative must be:

V0  = S0 [S1 (H) + S1 (T)] O                     .

[10%]

iii. Define p˜ and q˜ in terms of S0 , S1 (H), S1 (T) and r such that the value V0 can be expressed in the form of a discounted expectation:

V0  = [S1(2)],

where  is the expectation with respect to the probability measure for which S1  = S1 (H) with probability p˜ and S1  = S1 (T) with probability q˜. [10%]

iv.  Show that if the obligation of the dealer is to pay S1  instead of S1(2), then V0   = S0 .  What is the value of and the money invested in the bank account in this case?

[10%]

Part II. Consider an N-period binomial asset pricing model and two assets: a stock and a bank account.   The price of one share of stock is S0   at time t = 0 and moves up to S1 (H) with probability p > 0 and down to S1 (T) with probability q = 1 O p.  One unit in the bank account at time t = 0 becomes 1 + r at time t = 1. Consider an European call option with strike price K and maturity N and the corresponding European put option (with same maturity and strike).  Let us denote by Vcall()   (resp.  Vput()) the price process of the European call option (resp.  European put option).  Show that the following formula holds:

Vcall()  O Vput()  = Sn O K  , n = 0, . . . , N.

[50%]

2.             i. Let N ∈ N be a natural number and N  the set of all sequences of length N of coin tosses with possible outcomes in {T, H}.  Define a probability measure P on N  that assigns equal probability to every sequence of N tosses. Find the probability of the event the last (i.e. N-th) toss is a head (i.e. H).                                                                                              [10%]

ii. Let (ΩN , P) be the probability space defined in a.  Define Xj (ω) = 1 if the j-th toss of ω ∈ ΩN  results in a head and Xj (ω) = O1 if the j-th toss results in a tail. Define further the sequence of random variables M0  = 0 and Mn  =    j(n)=1 Xj  for any n ∈ {1, 2, ..., N}.

a. Prove that the sequence {M = Mj ; j  = 0, ..., N} is a martingale. State carefully all the properties of conditional expectations you need to apply. You may use these properties without proof.            [10%]

b. Define Yn  := Mn(2) O n, for n ∈ 0 . . . N . Prove that the sequence {Y = Yj ; j = 0, ..., N} is a martingale. State carefully all the properties of conditional expectations you need to apply.                              [20%]

iii. A gambler wins or loses one pound in each round of betting, with equal chances and independently of the past events.   She starts betting with the rm determination that she will stop gambling when either she won n pounds or she lost m pounds.

a. What is the probability that she is winning when she stops playing further.                                                                                       [30%]

b. What is the expected number of her betting rounds before she will stop playing further.                                                                  [30%]

3.      Consider an N-period binomial model. An AsiAo pptipo has a payoff based on the average price, i.e.

N

VN  = f(       Sn ),

where the function f is determined by the contractual details of the option.

a. Define Yn  =     k(n)=0 Sk  and use the independence lemma to show that the two-dimensional process (Sn , Yn ), n = 0, ..., N is Markov.

[30%]

b. The price of the Asian option at time n is some function vn  of Sn  and Yn i.e.

Vn  = vn (Sn , Yn ),  n = 0, 1, ..., N.

Give a formula for vn (s, y) and provide an algorithm for computing vn  in terms of vn+1 .

[30%]

c. For N = 2 and f(x) = 3x assume that S0  = 8, u = 2, d = 1/2, r = 1/4 and risk-neutral probabilities are p˜ = q˜ = 1/2. Using part b or a different method compute v0 (8, 8), which is the time 0 price of an Asian option expiring at time 2.

[40%]

4.           i. Define the following terms:

a. replicating portfolio for an option.

b. Markov property.

c. American put option.

d.  _ArtiobAla process, sul放ArtiobAla process and su夕ar放ArtiobAla pro- cess.

[15%]

ii.  Consider a two-period binomial model with S0  = 4, up factor u = 2, down factor d = 0.5 and interest rate r = 0.  Assume the probability that the stock price moves up is p = 2/3.

a.   Compute the actual probabilities:           P (HH), P (HT), P (TH), P (TT) and the

risk-neutral probabilities:

(HH), (HT), (TH), (TT).  Recall that with each head H the stock price moves up and with each tail T it moves down.

[15%]

b.  Compute the Radon-Nikodym derivative random variable Z .           [10%]

c.  Compute the Radon-Nikodym derivative process Zn , n = 0, 1, 2, dis- play it in a tree diagram and show that it is a martingale under the market probability P .

[10%]

d.  Give the formula and compute the state price densities: ζ2 (ω), ω ∈ {HH, HT, TH, TT}.

[10%]

e. Using the numbers computed in part d. find the time-zero price of

an Asian option whose payoff at time 2 is ( Y2  O 4)+ , where Yn  = k(n)=0 Sk  is the sum of stock prices between time 0 and time n.

[20%]

iii.  Suppose the initial stock price is S0  = 80, and with each head the stock price increases by 10, and with each tail the stock price decreases by 10. In other words, S1 (H) = 90, S1 (T) = 70, S2 (HH) = 100, etc.  Assume the interest rate is always zero.

Consider a European call option with strike price 80, expiring at time three. What is the price of this call at time zero?

[20%]

5.          a.     i. What assumptions are used when modelling the interest rate as a stochastic process?  Define a zero-coupon bond and an interest rate swap.                                                                                          [30%]

ii. Let rn  be the stochastic interest rate in an N-period model.  Prove that the value at time n of the xed income derivative paying out rN1  at time N is equal to Bn,N1 OBn,N , where Bn,N1  (resp. Bn,N ) is the time n price of the zero-coupon bond with maturity N O1 (resp. N).                                                                                             [30%]

iii. Prove that the price of the xed income derivative in ii.  is greater than or equal to zero so long as rN1  e 0.                                [10%]

b. In the Black-Dermann-Toy model, the interest rate at time 0 > n > N is given by

rn (ω1 . . . ωn ) = an bn(#)H{ω1 ...ωn}

where the power of bn  is the number of heads in the scenario ω 1 . . . ωn . Suppose that an  =  and bn  = 1.44.  The risk-neutral probabilities are p˜ = q˜ = 1/2.

There are two zero coupons,  one with maturity  1 and the other with maturity 2.  Compute the price of these zero-coupon bonds at times n =

0, 1.                                                                                                     [30%]