Q 1.  (20 marks) The following data concerns the percent marks (between 0 and 100) attained by a class of n = 466 students in two tests during the semester. The summary statistics for the Test 1 are the following

Min.    Q1       Median    Q3       Max.    Mean    St. Dev

0     38

52.5

66         97

52.2

19.6

Let X be the mark of a randomly selected student for Test 1.

(a)  The boxplot below shows the distribution of the Test 1 marks

(b)  Compute the Interquartile Range for these the marks.

(c)  Are there any marks that can be considered mild outliers?

(3 marks) (3 marks) (4 marks)

(e)  Use the empirical rule to give an approximate value for P (13 < X < 91.4).

(5 marks) (5 marks)

Q 2.  (20 marks) The U.S. National Center for Education Statistics recently published information about school

enrolment at different levels, including Elementary schools, High schools and Colleges. A total number of 70 million students were enrolled, among which 38.5 million were enrolled in Elementary school and 14 million in High school. For each level, there are two types of schools, private schools and public schools. It was also reported that 15% of those enrolled in Elementary school attended private schools, 10% of those enrolled in High school attended private schools, and 20% of those enrolled in colleges attended private schools.

(a)  Select three random students. What is the probability that all of them were enrolled in colleges?

(3 marks) (b) What is the probability that a random selected student attended a public high school?           (4 marks) (c)  Consider a randomly selected student.  What is the probability that he/she attended a private school and the probability that he/she attended a public school?                                                           (5 marks) (d)  Given that a randomly selected student attended a private school, what is the probability that he/she was enrolled by a college?                                                                                                                (5 marks) (e)  Consider the event that a student attended a college and the event that a student attended public school.

Are they independent? Justify your answer.                                                                                      (3 marks)

Q 3.  (20 marks) The moment generating function associated with a random variable X is a function MX (s) of a scalar parameter s, defined by

MX (s) = E [esX] .

When X is a discrete random variable, the corresponding transform is given by

MX (s) = ∑ es北pX (x)

北

while in the continuous case it is given by

MX (s) =  es北fX (x)dx.

Let X follow the distribution:

( 1/2,      if x = 2

pX (x) =

Find its corresponding moment generating function MX (s).                                                        (4 marks)

(b)  Let X be an exponential random variable with parameter λ . Derive its corresponding moment generating

function MX (s).                                                                                                                                      (8 marks)

(c)  Let X  be a Poisson random variable with parameter λ .  Derive its corresponding moment generating function MX (s).                                                                                                                               (8 marks)

Q 4.  (20 marks) There are 10 light bulbs in a room.  The lifetimes of the light bulbs are independent and expo-

nentially distributed with mean 0.5 years. Let X be the number of light bulbs still working in the room after 1 year.

Q 5.  (20 marks) A company owns two machines, Machine I and Machine II, each producing plastic balls of different sizes.  Machine I produces balls whose diameters are normally distributed with mean 10cm and a standard deviation of 0.2cm. Machine II produces balls whose diameters are normally distributed with mean µcm and

a standard deviation of 0.3cm.

(a)  Calculate the probability that a ball from Machine I has diameter less than 10.15cm.              (4 marks)

(b)  A random sample of 40 balls is taken from Machine II and the diameters di were measured resulting in

∑ di = 500 .  Give an unbiased estimate for the true population mean diameter µ for Machine II.

(4 marks)