Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ENGINEERING MATHEMATICS 2B

SCEE08010

Aection A

Question 1

An box contains 3 coins, identical in shape, 2 of which are normal having a‘Head’and a ‘Tail’side while the third is abnormal having two‘Tail’sides. We take one coin at random out of the urn and toss it. If it lands on a‘Head’we pick another coin at random from the  remaining 2 and toss again.  What is the probability of having two‘Head’outcomes from  two tosses?

A.  1/16

B.  1/3

C.  1/6

D.  1/9

E.  1/12

(5)

Question 2

Let x be an exponential random variable with probability density function pX (北) = e-  for 北 > 0. Which of the answers below is the correct value of P(2x s 2)?

A. P(2x s 2) = 0.2835.

B. P(2x s 2) = 0.4866.

C. P(2x s 2) = 0.5134.

D. P(2x s 2) = 0.1711.

E. P(2x s 2) = 0.2388.

(5)

Question 3

Let x be a discrete random variable for the outcome of a toss of a coin with sides 0 and 1, when P(x = 0) = 0.5 and P(x = 1) = 0.5. Moreover, let Y be another variable associated with a biased coin with sides 1 and 2, such that P(Y = 1) = 0.4 and P(Y = 2) = 0.6.  If Z = x + Y what is P(Z < 3)?

A. 7/10

B.  10/10

C. 9/10

D. 5/10

E. 3/10

(5)

Question 4

In a hypothesis test we encounter Type I and Type II errors.  Committing a Type II error is equivalent to which one of the statements below?

A. We reject the null hypothesis whilst the alternative hypothesis is true.

B. We reject a null hypothesis when it is true.

C. We accept a null hypothesis when it is not true.

D. We reject the null hypothesis when it is not true.

E. We reject the alternative hypothesis when the null is true.

(5)

Question 5

Which of the options below is not a necessary condition in simple linear regression?

A.  The errors in the data have unit variance.

B.  The errors in the data have expectation equal to zero.

C.  The errors in the data are uncorrelated.

D.  The errors in the data are independent.

E.  The errors in the explanatory variables have zero mean and zero variance.

(5)

Question 6

Which of the options below is a unit normal vector nˆ to the plane 3z + 2y = 6 - 6X?

A.   =  .

B.  nˆ =  2+ 3 - 6.

C.   =  -3 - 2 - 6.

D.  nˆ = .

E.  nˆ =  (+ + ).

(5)

Question 7

For the vector eld F = yz3 + y2 the work on the curve y = z2  from (1, 1) to (0, 0) is

A.  0.5

B. -0.5

C.  2

D. -2

E.  2.5

(5)

Question 8

The double integral of a function f (z, y) over a region R on the zy plane can be expressed as an iterate integral like

2      ^1-(y -1)2

f (z, y)dA =                           f (z, y)dzdy .

R                                 0      0

What is the shape of the region R?

A. A unit disk centred at the origin (0, 0)

B. A unit disk centred at (0, 1)

C. A unit disk centred at (1, 0)

D. A half disk of unit radius centred at (0, 1)

E. A half disk of unit radius centred at (1, 0)

(5)

Question 9

Which of the options below corresponds best to the volume of the region R defined by curves

z2 + y2  < 1,    z > 0,    z2 + y2 + z2  < 22 .

A.  11.7447

B.  1.8692

C.  5.8724

D.  21.4895

E.  23.4895

(5)

Question 10

Consider solving a double integral of the form

dA

R

where dA = dpdu and the coordinates (p, u) relate to the Cartesian ones as z = p2  - u2 and y = pu . Which of the options below describes the best the area integration element in Cartesian coordinates dA = dzdy .

A.  2(p2 + u )dpdu2 .

B.  2(p2 - u )dpdu2 .

C.  (p2 - u )dpdu2 .

D.  (p2 + u )dpdu2 .

E.  (z2 - y )dpdu2 .

(5)

Aection B

Answer all questions in this section, showing clearly your working towards the solution.

Question 1

A shipment of 1000 sacks of oranges arrives at a distribution centre in Edinburgh, one of 10 such facilities in Scotland. The sender quotes a nominal weight of 20 kg and a standard deviation of no more than 2000 g per sack.  A random sample of 10 sacks is selected and weighed, giving a mean of  = 20.77 kg and variance sn(2)  = 4.85 kg2 .  Throughout this exercise you should assume a Gaussian model for the data.

(a)  Show that the sample mean coincides with the maximum likelihood estimator (MLE)

for 9 while the sample variance differs from the MLE for 72 . Why is the MLE for the variance not the preferred choice for small samples?

[4 points for the rst part & 1 for the second]

(5)

(b) Assume that the true standard deviation is (as claimed by the sender) is 2000 g and

perform a hypothesis test regarding the claim that the average sack weight is 20 kg using the above data at a level of significance a = 0.05 and compute the appropriate p-value. You may assume that most of the imported oranges in Scotland arrive through this specific distribution centre. Further compute the power of the test if the true mean is given by 91 = 22.

[2 points for the hypothesis test, 3 points for the p value  & 5 points for the power]

(10)

(c)  The vendor claims that the standard deviation in the weight of the sacks is less than

2 kg. Construct an appropriate confidence interval at confidence level 1 - a = 0.95 for the variance and test the vendor’s claim.

[5 points for the confidence interval & 5 points for the hypothesis test]

(10)

Question 2

(a) A circle of radius a, where a is a known positive constant, is centred at coordinates

(z, y) = (a, a).  We form a two-dimensional region R, from the interior of the circle while discarding the quarter between m s θ s   .  Using double integrals nd the coordinates of the geometric centre of the region R.

(5)

(b)  Consider a different region R in the interior of the curve c given in parametric form as

c(6) = 8(6 - 62 ), 8(62 - 63 ),    for   0 s 6 s 1,

where 8 > 0 is a known constant. Compute the area of R in terms of 8 using integra- tion.

[2 points for setting  the  appropriate  integral  &  8 points for the  solution  method  and answer]

(10)

(c)  Give the fundamental property of a harmonic two-dimensional eld, and an example of a harmonic eld from physics or engineering. Subsequently consider a two-dimensional harmonic field f (z, y), based on which we can form another scalar eld g(z, y) such that

g(z, y) = f (z2 - y2 , 2zy).

Calculate the Laplacian of g in its most simplified form.

[2 points for the rst part and & 8 points for the second]

(10)