[3]           1.    Find all real vectors x and y such that xyT  =  ┌0(1)

'4

一8'. No justification is required.

[7]          2.   You are given the following row reductions involving A and B .

a)   Give the size and rank of each of A and B and C .

b)   Give the general left inverse and the general right inverse for A and B and C . You should give your answer as a sum/product of matrices (as we saw in class). No justification is required.

[7]          3.   Given that PAQ = L0U0  with the following matrices.

a)   Find a Q0R0  decomposition for A.

b)   Find a QR decomposition for A.

c)   Find a matrix P such that Px is the projection of x onto the column space of A. You may give P as a matrix product of other matrices you have determined without multiplying them out.

Using this decomposition, and not some other method, find a best solution x to Ax ↓  ┌ ┐1(1)

'0'.

7.   Consider 扌3, the space of polynomials in the variable t of degree at most 3, and R3, with the following bases.

．, '(┌)'(┐)、．

Let T : 扌3 → R3  be the linear map as follows (you don’t need to check that it is linear).

T (p(t)) =  ┌┐

'p(2)'

Find the matrix of T with respect to these two bases.

[2]          8.   Show that if A is a diagonal matrix, then 卜A卜1 = 卜A卜2 = 卜A卜/ .

[5]          9.   For A = -2(1)   1(2)┐ and b = - ┐3(3) , we find that x = - ┐1(1) is the solution to Ax = b. Now we want

to solve A-x- = b where A- = A+∆A, where ∆A is some unknown matrix all of whose entries

are in the range 士0.1. Let ∆x = x- 一 x. In case it is useful to you, A一1 = -2(一)     一(2)┐ .

a)   Find an upper bound on 卜∆x卜1  using the methods we saw in class.

b)   Using your bound on 卜∆x卜1 , find the best possible ∈ so that the entries of ∆x are all in the range 士∈ .

c)   Give the tightest possible range for each of the entries of x- .

[5]        10.   Let A = PDP一1  with D =  '(┌)一01   2(0)   0(0)'(┐) and P =  '(┌)2(1)   3(1)   4(1)'(┐); also P一1  =  '(┌) 0(2)     一11   1一2'(┐)

Let A-  = A + ∆A where ∆A is some unknown matrix all of whose entries are in the range 士0.3.  Using a Theorem from class, describe the approximate location in the complex plane of the eigenvalues of A- .  Use the &-norm.  Be as detailed as you can in your description. (hint: calculating A will involve a lot of work and will not help)

[5]        11.   Let A =  -e(1)   e 2(一)1 ┐ where e > 0.  We wish to choose e so as to make the condition number

of A as small as possible.  The campaign to “MAKE EPsILoN SMALL AcAIN!”  proposes to do this by choosing e as close as possible to 0, in order to prevent imaginary numbers from getting in.

a)   Verify (any correct method you prefer) that A一1 = -2一e   一 1(e)一1 ┐ .

b)   Compute the condition number of A, in terms of e.  Do this using the 1-norm. You do not need to simplify the formula, it just needs to be a formula in terms of e and not a matrix.

c)   Will the strategy proposed by MeSA work?  Find the limit as e → 0 of the condition number of A, and decide if making e close to zero would make the condition number small. You do not need to find the value of e that minimizes the condition number.

[5]        12.   We want to find a Schur decomposition for the matrix A =  '(┌)   5     3一21'(┐) .  We want

to find a Schur decomposition.  The first step is done for you:  Following the notation used in class, we set A1   = A and we find  (after some work) the matrix Q1 ,  and then obtain S1 = Q1(H)A1Q1 , to get:

Finish the decomposition. You should find all matrices explicitly, except for the final P and S: these two you can give as a product of other matrices that are either given in the question or you have already found without explicitly multiplying them out.