Problem 1 (60 points) - Government Expenses

Consider a 2 periods Overlapping generations economy in which Nt  young individuals are born each period. Individuals are endowed with y = 10 units of the consumption good when young and nothing when old. Agents have only the option to acquire money to consume in the second period. The utility function of one typical agent is a typical time-separable CRRA: u(c1 , c2 ) =   +  . σ  > 0 is the inverse of the elasticity of intertemporal substitution. Population of the future generations are determined by Nt+1  = n.Nt  for all t ≥ 1, N0 = 100. The government has to pay for expenses worth Gt = 2Nt  every period.

1. What is the equation for the feasible set of this economy?

Ntc1,t + Nt_1 c2,t_1 + Gt  ≤ Nty

Equivalently:

1                Gt

n              Nt

Substituting some parameters:

c1,t + c2,t_1 + 2 ≤ 10

2.  Let’s solve the Planner’s Problem. (i) State the Planner’s problem as a constrained maximization problem. (ii) Write down the Lagrangean for this problem. (iii) What are the FOCs? (iv) Assuming a stationary solution, find the optimal allocations as a function of parameters only.

The planner’s problem is to find the allocations c2,0 , {c1,t, c2,t) solving:

&

  u(c1,t, c2,t)

s.t.

Ntc1,t + Nt_1 c2,t_1 + Gt  ≤ Nty, At ≥ 1

The Lagrangean is:

/ =  1(c)σ(σ) +1(c)σ(σ) + λt(y 一 2 一 c1,t 一 c2,t_1 )

Stationary FOCs:

c 1(_)σ  = λt   =→  λt = λt+1 = λ

c2(_)σ  =

=→  c2 = c1n1/σ

Substituting in the Feasibility constraint:

c1 + c1n1/σ _1 = y 一 2 = 8

1 =

2 =

From now on, assume that the government budget constraint is balanced and Gt  is financed via seignorage Gt = Mt 一 Mt_1  where Mt = zMt_1

3.  Let’s Find the competitive equilibrium allocation:  (i) Write down the future and initial generations problem for this economy (ii) State the definition of a competitive equilibrium. (iii) Find the FOCs of the future generations problem (v)Find the rate of return of money (vi) Find the stationary equilibrium allocation (c1 , c2 ) as a function of parameters.

The Problem of each individual of the initial old generation is:

max u(c2,0 )

s.t.

c2,0  ≤ v1m0

The Problem of each individual of the future generation t is:

max    u(c1,t, c2,t)

s.t.

c1,t + vtmt  ≤ y

c2,t  ≤ vt+1mt

We may also combine these 2 constraints into the lifetime BC:

vt  

vt+1

A Competitive Equilibrium (CE) is a sequence of allocations c2,0 , (c1,t, c2,t, mt) and money value (vt) such that:

(a)  Given v1 , c2,0  solves the Initial Old problem.

(b)  Given vt , c1,t, c2,t, mt  solve the Future Generations problems At ≥ 1. (c) Allocations are feasible: At ≥ 1, Ntc1,t + Nt_1 c2,t_1 + Gt  ≤ Nty       (d)  Market Clears: Ntmt = Mt , At.

(e)  Government budget is balanced: Gt = (1 一 )vtMt

Future Generations FOCs:

c 1(_)σ   = c2(_)σ

c2 = c1  ╱ 、_1/σ

c1 + c2  ≤ y

From 1st period BC:

vtmt = y 一 c1

Using Market Clearing condition we find the rate of return of money:

vtMt = Ntvtmt = Nt(y 一 c1 )

=→  vt = (y 一 c1 )

vt+1          Nt+1   Mt           n

vt             Nt    Mt+1        z

Substituting in LFBC:

c1 + ╱ 、 _1 c1  ≤ y

y        

1 + ╱ 、σ _1

c2 =  ╱ 、

4.  How does equilibrium consumption of the young change when z you should find cases for σ]

! ≥ 0

 = y ╱ 一 ╱ 1 + ╱   、  _1、_2 n  _1 (1 一 )z _ \ !!)!!= 0

!,≤ 0

From now on, assume σ       ,    = 2.

changes? [HINT:

if σ < 1

if σ = 1

if σ > 1

5.  Find the money growth rate z that makes the government budget balanced.

We first need to find consumption:

c1 = 10/2 = 5

From government BC:

Gt = (1 一 )vtMt = (1 一 )Ntvtmt = (1 一 )Nt(y 一 c1 )

2 = (1 一 )(y 一 c1 ) = 5(1 一 ) = 5 一

3 = 5/z

z = 5/3

6.  Compare the equilibrium consumption in each period with the planner’s solution. Which one provides higher utility for a typical individual?

Remember that when σ = 1 CRRA utility function is equivalent to log utility

●  Equilibrium:

c1 = 5

c2 =  ╱   \ = y = 6

Utility: log(5) + log(6) = log(5 × 6) = log(30)

●  Planner:

c1 =  = 4

c2 = 2  = 8

Utility: log(4) + log(8) = log(4 × 8) = log(32)

Utility is higher under the planner allocation.

7.  Is there a way to have in equilibrium the same allocation as in the Planner’s solution while keeping the government budget balanced? How? What is z in that case?

Yes, set z = 1 and charge a lump-sum taxes from the young generation such that all equilibrium conditions remains the same but the government budget constraint is now:

Gt = Ntτ  =→  τ = 2

The new first period BC is:

c1 + vtmt = y 一 τ = 8

The LFBC is therefore:

c1 + c2 = 8

At this point you may notice that the LFBC is completely equivalent to the feasibility condition, and so are the FOCs:

c2 = nc1

So it must be that the allocations are identical.

Problem 2 (40 points) - Reserve Requirements

Consider the 3 generations OLG economy seen in class. Utility function is given by:

u(c1,t, c2,t, c3,t) = log(c1,t) + log(c2,t) + log(c3,t)

The agent’s receive an endowment for their labor income worth y  =  10 units of the good when young and nothing in the 2 subsequent periods. Total population is N = 1000) and is constant (n = 1) and money grows at constant rate z = 3/2. The government has to pay for expenses Gt  every period. Assume that the government budget constraint is balanced and Gt  is financed via seignorage Gt = Mt 一 Mt_1  There is a productive capital available to consumers, however, capital is only able to produce in 2 periods. The return on capital is X = 4. Assume also there are banks in the economy able to receive deposits from consumers and invest in the capital technology. The central bank requires that commercial banks keep a fraction γ = 0.1 of the deposits as Fiat Money reserves. The agents may acquire bank deposits h, money m and capital to consume when middle aged and old.

The wording above is confusing. It should read every period  1000 persons are born. However, it is written that every period the population is constant at N , meaning that 1000/3 persons are born each period. Both interpretations will be considered correct.

1. What is the profit of a bank paying returns r on one-period deposits?

π = γ()2 + (1 一 γ)X 一 r2

2.  If there is only one bank in the economy, what is the optimal r? What happens when there is free-entry of banks? Will the agents ever choose to demand money? If there is only one bank, the optimal rate is given by the minimum in which the agents accept to hold deposits:

r = n/z

If there is free-entry, one period profits are zero so:

1

z

r = γ  + (1 一 γ)2 = 1.95

Agents will not hold money in equilibrium in either cases since the return on deposits is at least as good m = 0.

3.  State the future generations problem in this economy. Also state the initial middle- aged problem The future generation problem is to choose c1,t, c2,t, c3,t, ht, kt  such that, given r, X, solves the following problem:

max         u(c1,t, c2,t, c3,t)

c1,t,c2,t,c3,t,ht,kt

S.T.

c1,t + ht + kt  ≤ y

c2,t  ≤ rht

c3,t  ≤ Xkt

Lifetime BC is:

c2,t          c3,t

I did not include m in the future generations problem becausew e already know it’s value m = 0. The Initial Middle Aged problem is to choose c2,0 , c3,0  such that, given v0 , k0 , solves the following problem:

max  u(c1,t, c2,t, c3,t)

S.T.

c2,0  ≤ v0

c3,0  ≤ Xk0

4.  State the Feasibility Constraint

Ntc1,t+Nt_1 c2,t_1 +Nt_3 c2,t_3 +Nt(ht+kt)+Gt  ≤ Nty+Nt_2X(kt_2 +(1一γ)ht_2 ), At

5.  Find the stationary allocations c1 , c2 , c3 , h, k, m solving the future generations prob- lem. FOCs

c2 = rc1

c3 = Xc1

h = k = c1

Substituting into LFBC

3c1 = y

c1 =     =

h = k =

c2 = rc1 = 1.95

c3 = 

6. What is the value of GDP?

GDP = Ny + NX(k + (1 一 γ)h)

GDP = 1000(10 +  + 0.9 ) = 1000(10 + 1.9 )

From now on assume γ = 0.5

7.  Find the stationary allocations c1 , c2 , c3 , h, k, m solving the future generations prob- lem. Note now that: r =  + 1 = 7/4 = 1.75 We still have:

3c1 = y

c1 =     =

h = k =

c3 = 

But:

c2 = rc1 = 1.75

8. What is the value of GDP? If this value has changed, explain why.

GDP = Ny + NX(k + (1 一 γ)h)

GDP = 1000(10 +  + 0.5 ) = 1000(10 + 1.5 )

GDP has decreased since the government forces the banks to keep higher reserves. As a consequence, less capital ins termediated via the bank and production is lower in the economy.

9.  Is the initial middle-aged better when γ = 0.1 or when γ = 0.5? The Middle age

solution is:

c20 = v1   = γh

Since h is constant, it must be that the initial middle aged is actually better when γ = 0.5. This is is because the value of money is higher when the government forces banks to demand more Money.

Problem 3 (40 points) - A simple Model of Money

Consider an economy with a shrinking stock of fiat money. Let Nt  = N , a constant, and Mt = zMt_1  for every period t, where z is positive and less than 1. The government taxes each old person τ goods in each period, payable in fiat money. It destroys the money it collects.

1.  Find and explain the rate of return in a monetary equilibrium. The rate of return on fiat money will be (in a stationary equilibrium with a constant population):

Nt+1(y _c1,t+1)

vt+1                   Mt+1                             Mt            1

vt                            Mt+1        z

Here, since z < 1, the value of money increases over time (alternatively, the price level decreases over time-deflation).

2.  Prove that the monetary equilibrium does not maximize the utility of the future generations. [Hint: Follow the steps of the equilibrium with a subsidy, noting that a tax is like a negative subsidy.] The Feasible set in this economy is:

c1 + c2  ≤ y

The Planner’s chooses the feasible allocation maximizing the utility of future gener-

ations. The FOCs are:

∂u        ∂u

=

∂c1        ∂c2

Let’s analyze the equilibrium. The Lifetime BC is:

vt                           vt  

vt+1                        vt+1

=→  c1 + zc2  ≤ y 一 zτ

The FOCs to the consumer’s problem are:

∂u       1  ∂u

=

∂c1        z ∂c2

Note that the Planner’s FOCs and the equilibrium are different. Could the Planner choose the equilibrium allocation? The answer to this question is straightforward,