Problem 1 (15 points) - Portfolio Choice

Let’s focus now on the problem of a single agent our OLG economy. As usual, she receives an endowment y = 100 when young and nothing when old. The agent has the option to buy 2 assets a and b in order to save for the future (there is no money). Asset a and b rates of return are ra, rb  respectively. She has a typical log utility: u(c1 , c2 ) = log(c1 ) + log(c2 ).

1.  State the agent’s budget constraints.

c1,t + a + b W y = 100

c2,t  W raa + rbb

2.  Suppose that ra = 2, rb = 1. What is the optimal demand for assets a and b?

The return on asset a is strictly higher than the return on asset b. Therefore, there is no reason to demand asset b. Any allocation with b > 0, can not be a solution to the agent problem since she could get more consumption in period 2 by reallocating the same amount of endowment towards asset a. Note that there is an implicit assumption that the agent cannot short sell any of the assets. Since we discussed in class only capital there was no need to state that assumption. Let’s find the demand for asset a, we’ll start with rewriting the BC:

2

ra

FOCs:

rac1 = c2

Substituting in lifetime BC:

2c1 = y  =÷  c1 = y/2 = 50

a = y - c1   =÷  a = y/2 = 50

For completeness, but not required : c2 = raa = 100

3. What is the condition on ra  and rb  to make the agent accept to carry both assets?

The condition for an interior solution (a > 0 and b > 0) is given by the FOCs: λ 1 = raλ2

λ 1 = rbλ2

=÷  ra = rb

4.  If rb = 1 and the agent controls the returns of asset a such that raa = 2a1/2, what is the the optimal demand for a and b? The constraints are now:

c1,t + a + b < y = 100

c2,t  < 2a1/2 + b

FOCs:

c1 ) λ 1 = 1/c1

c2 ) λ2 = 1/c2

a) λ 1 = λ2 a一1/2

b) λ 1 = λ2

=÷  a = 1

c1 = c2

Substituting into the 2nd BC:

=÷  b = c2 - 2

c1 + c2 - 1 = 100

2c1 = 101

c1 = c2 = 50.5

=÷  b = 49.5

Let’s now consider a case in which asset a is risky. There are 2 possibilities, ra  = 0 with probability 1/2 and ra = 3 with probability 1/2, rb = 1 in all cases. The agent will maximize her expected utility: u(c1 , c2 ) = log(c1 ) + E[c2].

5.  State the agent’s budget constraints. [HINT: there are 2 budgets constraints when old, one for each realization of ra]

c1,t + a + b < y = 100

c2 (1) < b

c2 (2) < 3a + b

6. What is the demand for assets a and b? [HINT: The agent is risk neutral here.] Any answer stating that for risk-neutral agents will care only for the higher expected return is acceptable. More formally, we found in class that the condition relating the return of a risky asset and a risk-free asset is given by:

cov(u(c2 ), ra)

E[u (c2 )]

Since the agent is risk neutral, u(c2 ) = 1, Ac2 , and this boils down to:

E[ra] = rb

Note that

E[ra] = 3/2 = 1.5 > 1 = rb

The expected return of a is greater than the risk-free rate rb  so the condition above is not respected. There is a corner solution in which:

b = 0  =÷  c2 (1) = 0

a = c2 (2)/3

FOCs:

c1  :   = λ 1

a :  λ 1 = 3λ2 (2)

c2 (2) :  λ2 (2) = 1/2

=÷  c1 = 2/3

a = 298/3

c2 (2) = 298

Problem 2 (25 points) - Capital and Government Purchases

Imagine an OLG economy where the government has to build roads and bridges totalling an amount of Gt units of the consumption good each period. The government may finance its purchases printing money with a rate of expansion of the fiat money supply of z > 1. Denote governement consumption per capita by gt  = Gt/Nt  where Nt  is the number of people in the generation born at time t. Population is constant at N . Each young person receives y amounts of the good as labor income. Besides money, the agent may invest in capital k . Each unit invested in capital as young will become f(k) = k1/2  when old.

1.  Find the individual’s budget constraints when young and when old. [TIP: Govern- ment purchases g are not in the agent’s BC]

c1,t + kt + vtmt  < y

c2,t  < xkt + vt+1mt

xkt = f(kt)

2.  State the following: below I state the conditions for a general Nt, but note that we could also state it for N constant as the exercise asks

(a)  Total GDP at time t;

Nty + Nt一1 f(kt一1 )

(b)  Feasibility Constraint;

At > 1, Ntc1,t + Nt一1 c2,t一1 + Ntkt + Gt  < Nty + Nt一1 f(kt一1 )

(c)  Government’s budget constraint;

Gt = Mt - Mt一1 = (1 - )vtMt

(d)  Money Market Clearing Condition.

Ntmt = Mt , At.

From now on assume that the utility function of a typical agent is given by: u(c1,t, c2,t) = log(c1,t) + log(c2,t)

3.  State and find the solution to the Planner’s Problem as a function of parameters y .

The Planner’s Problem is:

&

max             log(c1,t) + log(c2,t)

(c1，t,c2，t,kt) t=1

ST

Ntc1,t + Nt一1 c2,t一1 + Ntkt + Gt  < Nty + Nt一1 f (kt一1 ), At > 1 Since population is constant, the constraint is equivalent to:

c1,t + c2,t一1 + kt + gt  < y + f (kt一1 ), At > 1

FOCs:

c1 = c2

f\ (k) = k一1/2 = 1  =÷  k = 2一2 = 

Substituting in the feasibility constriant:

c1 + c2 + g + 1/4 = y + (1/4)1/2

y + (1/2) - g - 1/4      y - g + 1/4

2                             2

4.  Define a Competitive Equilibrium. The future generation problem is to choose c1,t, c2,t, mt, kt such that, given vt, vt+1, solves the following problem:

max      u(c1,t, c2,t)

c1，t,c2，t,mt,kt

S.T.

c1,t + kt + vtmt  < y

c2,t  < xkt + vt+1mt

xkt = k1/2

Lifetime BC is:

c1,t + c2,t  < y +  k1/2 - kt

A Competitive Equilibrium (CE) is a sequence of allocations c2,0 , (c1,t, c2,t, mt, kt) and money value (vt) such that:

(a)  Given v1  and k0 , c2,0  solves the Initial Old problem.

(b)  Given vt , c1,t, c2,t, mt  solve the Future Generations problems At > 1.

(c) Allocations are feasible: At  >  1,  Ntc1,t  + Nt一1 c2,t一1  + Ntkt  + Gt   <  Nty + Nt一1 f (kt一1 )

(d)  Market Clears: Ntmt = Mt , At.

(e)  Government budget is balanced: Gt = (1 - )vtMt

5.  Find the Equilibrium Allocations c2,0 , (kt, c1,t, c2,t) as a function of parameters z, y, A. In which cases the solution to the Planner’s Problem and the equilibrium allocation are the same?

FOCs of the Agent Problem:

c1 = c2

c1,t + c2,t = y +  k1/2 - kt

k一1/2 =

As usual:

vt+1          n

vt           z

=÷  k = /  、 一2 = 

Substituting the FOC and capital into the BC:

2c1 = y + z / 、1/2 -

y +  

=÷  c1 =

y +  

2z

c20 = c2

From now on, assume y = 10, n = 1.

6.  Is GDP higher in the Planner’s optimal allocation or in the equilibrium? What about consumption in periods 1 and 2? GDP for the planner is:

y + f (k) = 10 + /  、 1/2 = 10.5

While in the equilibrium, it is higher (unless when z=1):

z

y + f (k) = 10 +

Consumption in the planners solution:

10 - g + 1/4

2

Assume for the sake of example z = 2, this means that consumption in equilibrium

is:

10 + 22/4

2

10 + 22/4

4

k = 1

To find the planners in comparable terms note from the government budget condition:

G = (1 - )vtMt

1      Mt                     1                           1

Using g = 3.5 We may find the planner consumption:

10 - 3.5 + 1/4

2

7.  How does consumption in each period change when z changes?

 =  ( ) =  / z、  > 0

 =  ╱ 、= z一1 - z一2 c1 =  - z一2   < 0, Az < 2y1/2

8.  Find an expression for g in equilibrium as a function of c1  and parameters. We hav

seen above:

1      Mt                     1

z     Nt                    z

9. What is the maximum amount the government can spend per capita? Question can- celled -> Does not count towards grade

Problem 3 (15 Points) - Liquidity

Consider an economy in which people live two-period lives in overlapping generations but are endowed only in the first period of life. Capital has a minimum size, k* , which is greater than the endowment of any single individual but less than the total endowment of a single generation. Capital technology is f (k) = xk . The population grows 10 percent in each period. There exists a constant nominal stock of fiat money owned by the initial old.

1.  In what sense is capital illiquid in this economy? Is fiat money subject to this same liquidity problem? Explain why. Capital is illiquid in the sense that it can only be created in a large size (there is no such thing as creating a small factory), and this

large size precludes its acquisition by a single individual. Fiat money does not have this problem in that it is (almost) perfectly divisible.

2.  Describe an intermediary that might overcome the illiquidity of capital so that in- termediated capital may be used to acquire consumption in the second period of life. Illustrate the intermediation scheme in a diagram. An intermediary could accept de- posits from young people. By pooling the endowments of the young, the intermediary could create capital. It could offer these depositors a rate of return on their deposits which would be paid out of the banks return from capital in the following period:

3.  Suppose there is only one person in each generation who is able to run an intermedi- ary. What is the minimum rate of return that person must offer to attract depositors? For what values of x can this person make a profit? Explain why.

The intermediary must offer a rate of return on deposits that is at least as high as the rate of return on fiat money, the only alternative asset available to young people. Since in this economy, n is 1.10 and z is 1, the gross rate of return on fiat money is n/z = 1.10. Hence, the intermediary could attract depositors if it offered a gross rate of return on deposits of 1.10. If x > 1.10 the intermediary can make profits

4. What rate of return will be offered on deposits if there are many people in each generation able to run an intermediary? Explain why.