1.  (15 points) True or false, and explain:

(a) Even if player i has a strategy D that is strictly dominated in a simultaneous move stage game, there may be an SPNE of the infinitely repeated game in which player i plays D every period.

(b) In any Nash equilibrium of an infinitely repeated game, the players play one of the stage game Nash equilibria in every period.

2.  (20t points)  Describe what the folk theorem for infinitely repeated games says, in your own words.

3.  (20 points) An individual is facing an infinite sequence of payoffs. She evaluates future payoffs with a discount factor 6 e (0. 1) per period.

(a) The sequence of payoffs V gives 5 jollies in every period, for infinity periods. What is the discounted present value of V? (Hint. Your answer should be a function of 6 .)

(b) The sequence V gives 10 jollies in period 1, then 2 jollies for every period T = 2. 3. s s s, for infinity periods.  What is the discounted present value of V? (Hint. Your answer should still be a function of 6 .)

(c) For what values of the discount factor 6 is the discounted sum of V at least as great as that of V?

(d) The sequence V\ gives 2 jollies every period. Is there any 6 e (0. 1) such that V\  is preferred to V?

4.  (20 points) Consider the infinitely repeated stag hunt. In each period, players 1 and 2 simultaneously choose whether to hunt stag or hare. If both hunt stag in period t,  both get 5 jollies in that period.   If a player hunts hare in period t, she gets 3 jollies in that period.  If a player hunts stag while the other hunts hare in period t, the one hunting stag gets 0 jollies in that period. This stage game is repeated for infinity periods, and the results of each period are observed before the next period begins.  The players have a common discount factor

6 and each seeks to maximize the discounted sum of jollies from the infinitely repeated game.

(a) What payoffs are individually rational for each player, as defined in lecture topic 13?

(b) If 6 is close enough to 1, is there a SPNE of the infinitely repeated game in which each player obtains 3 jollies in each period forever?

(c) If 6 is close enough to 1, is there a SPNE of the infinitely repeated game in which player 1 hunts hare, and player 2 hunts stag, in each period forever?

(d) Explain why, if 6 is close enough to 1, there is a SPNE of the infinitely repeated game in which player 1 hunts stag in all odd numbered periods (and only in odd numbered periods), and player

2 hunts stag in all even numbered periods (and only in even num- bered periods).

(e) Explain why, if 6 is close enough to 1, there is a SPNE of the in- finitely repeated game in which the players both hunt hare in even numbered periods, and both hunt stag in odd numbered periods.

(f)  BoNUs (5 points): What is the discounted sum of the payoffs to

player 1, if both use the strategies from part (e)?

5.  (25 points) Consider the following stage game of an infinitely repeated game, where the players have a common discount factor 6 .

L      C

U

M

(a) Find all the Nash equilibria of the stage game. Note there is one in mixed strategies.