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MAT 2384 Practice Final Exam

Question 1.    Solve the initial-value problem:

(4xy - y - 3y2 sin x)dx + (-2x + 4x2 + 9y cos x)dy = 0,        y(0) = 1


Question 2.    Use the method of undetermined coefficients to nd the general solution of the differential equation

y\\\ - y\\ + 2y = -5e-x + 6x + 2.


Question  3.    Use variation of parameters to nd the general solution of the differential

equation

x y2\\ - 5xy  + 5y\  = 4x6 ln x,        x > 0.


Question 4.    Use Gaussian quadrature of order 3 to estimate the value of the integral

3

e-x2 dx.

1

(Round the values of the coefficients and the nodes to 5 decimal places.)


Question 5.    Find the general solution to the following nonhomogeneous system:

d北(d)    y(y)2(1) = ┐ ┌   ┐y(y)2(1) + -8北(2)+41.


Question 6.   Use the Runge–Kutta method of order 4 to estimate the values of the solution

of

dy

in the interval [0, 1] using a stepsize of h = 0.5. Round your answer to 6 decimal places.


Question 7.    (a) Find the Laplace transform of the function f (t) = te-2t cos(5t).

14e-3s        (b) Find the inverse Laplace transform of the function F (s) =


Question 8.    Use Laplace transforms to solve the initial-value problem

y\\ + 16y = 6(t - 2),        y(0) = 2,        y\ (0) = -3, where 6(t - 2) is the Dirac delta function.


Question 9.    Consider the three points (xj , fj ), j = 0, 1, 2, where fj  = f (xj ) for a certain

function f :

(0.3, 0.036591),    (0.5, 0.055783),    (1, 0.049787).

(a) Find p2 (x), the Lagrange polynomial of order 2 that passes through the three points (round the coefficients to six decimal places).

(b) Interpolate the value of the function f at x = 0.8 (round your answer to six decimal places).

(c) If we know that 0.032145 ● <f\\\ (t)< ● 0.41201 for some t in the interval [0.3, 1], find the range of the error, and use it to determine how accurate your estimate for f (0.8) is.


Question 10.    Use a power series to nd the general solution to

y\\ - 5y = 0