1.  (15 points.)  A legislature with three members has $1 to allocate for “pork barrel” projects to the legislators’ districts. The legislature works as follows: First, a proposer is selected at random; each legislator has an equal chance to be the proposer. Next the proposer proposes a share of the dollar for each of the three legislators. Shares can be any number from 0 to 1, including 0 and 1 (i.e., the shares are percentages of the pie), and the sum of the shares cannot exceed 1. Then the legislature takes a majority vote on the proposal. If the proposal wins a majority of votes (2 or 3), the legislators are all paid their proposed shares.  If it does not win a majority, a status quo policy remains in force, in which legislator 1 receives $.40, legislator 2 receives $.20, and legislator

3 receives $.25. A legislator’s payoff is the share of the pie s/he receives and all wish to maximize their own payoff . Assume that when players vote, they vote in favor of the proposal if they obtain equal payoffs whether it passes or fails.

(a)  Suppose legislator 1 is selected as the proposer.   What are the shares each player obtains in the subgame perfect equilibrium?

(b)  Suppose legislator 2 is selected as the proposer.   What are the shares each player obtains in the subgame perfect equilibrium?

(c)  Suppose legislator 3 is selected as the proposer.   What are the shares each player obtains in the subgame perfect equilibrium?

(d)  Suppose again that player  1 is the proposer, but now player  1 receives $.60 if the proposal fails.  Players 2 and 3 receive their shares as specified above.  Now what are the shares each player obtains in the subgame perfect equilibrium?  Explain why player

1 gets the same share as in part (a), even though its status quo payoff increased.

2.  (15 points) Suppose 3 children,  W, A, C, have to decide on what to eat for dinner. Their choices are pizza P , burritos B, and shawerma S . They use an amendment agenda to choose (they are eccentric children): first, two options will be put to a majority vote.  Next, the winner of that vote is put to a majority vote against the third option.   The winner of the final vote is the group choice.  Each child must eat the food chosen by the group.  It is common knowledge that each child is capable of backward induction, and that the preferences are:

·  P > S > B for W

·  B > P > S for A

·  S > B > P for C .

(a) Is there a Condorcet winner?

(b)  Suppose the agenda is B vs.  P , the winner against S .  Which option will be the group choice?

(c)  Suppose the agenda is B vs.  S, the winner against P .  Which option will be the group choice?

(d)  Suppose A is the agenda setter:  she gets to choose the order in which options are considered.  What agenda should she choose? Specify which options are in the 1st vote, and which is left for the 2nd vote.

3.  (15 points) Consider an agenda setting game with a proposer P and responder R deciding on a budget.  First P proposes a budget x ● 0. Then R observes x, and decides to accept it or reject it. If R accepts, then the budget is B  = x.  If R rejects, then the budget is B  = q , where q  ● 0 is the status quo.  The status quo is fixed at the start of the game and is common knowledge.   Denoting the final budget agreement by B, assume uP  = B: the bigger the budget, the more P likes it.  But uR  = _ |75 _ B|:  R’s favorite budget is B = 75, and the further the budget is from 75, the less R likes it (above or below 75 doesn’t matter).

(a)  Suppose q = 70.  What values of B does R like at least as much as q?

(b)  Of the budgets you identified in the previous part, which is P’s most preferred?

(c) What is the final budget B in SPNE?

(d)  Suppose q = 10. Repeat the previous three subparts.

(e) Even though the proposer always likes bigger budgets, she might prefer a smaller status quo budget q . How can you explain this?

4.  (15 points) A legislature with 5 members, named i =1, 2, 3, 4, and 5, has to pass a budget.  The budget is a number b.  For any budget b, member i obtains utility ui  = _ |b _ i|, so member i’s ideal policy is simply i.  A member is chosen to propose a budget.  The proposal is a number x ● 0.  There is a status quo budget y, which is common knowledge.  The legislature votes on the proposal vs.  the status quo. If at least q members vote in favor of x, then x is the budget; if fewer than q vote in favor of x, then y is the budget.  Assume all members vote in favor of x if they consider it at least as good as y .

(a)  Suppose q = 3, y = 4.5, and member 1 is the proposer.  What is

the budget in SPNE? How does each member vote?            (b) How does your answer change if member 3 is the proposer?

(c)  Say that the legislature is gridlocked if there is no budget that can defeat the status quo y . Further, the gridlock zone is the set of values of y that cannot be defeated by any proposal.  Suppose y = 3.5 and q = 4, that is, at least 4 out of 5 members must vote in favor of x to defeat y . What is the gridlock zone?

(d) What is the gridlock zone if q = 5 and y = 4.5?

5.  (10 points) As in the previous question, the assembly (with the same members and preferences) has to pass a budget.   Now it has to be presented to the president for her signature or veto.   If a majority approves a proposal and the president signs, that proposal becomes the budget.   If the majority approves a proposal but the president vetoes, the proposal goes back to the assembly. If 4 or more members vote to override the veto, the proposal becomes the budget.  If fewer than 4 members vote to override the veto, the budget is y = 3.5. The president’s utility is uE  = _ |b _ 6|, i.e. her ideal budget is 6. Assume

member 1 is the proposer in the assembly, and the president signs any bill if a veto would be overridden.

(a) What budget does member 1 propose in SPNE? How does each member vote, and does the president sign or veto?

(b) Now suppose the president’s utility is uE  = _ |b _ 3.5|.  How do your answers to the previous part change?

6.  (15 points) A parent P and a young child C are at home together during quarantine. At 10 am one day, P asks C to play quietly so P can take a Zoom meeting. C can either play quietly, which gives him 10 jollies, or make a lot of noise and mess, which gives him 20 jollies. P obtains 0 jollies from taking the Zoom meeting while C is quiet, and _10 jollies from the Zoom meeting if C makes a lot of noise.  In addition, at 12 pm, P may or may not let C watch a TV show.  Suppose that P and C both gain 100 jollies when C watches the show:  C likes the show, and P likes 30 minutes of quiet.

(a) At 9:30 am, P threatens to withhold TV from C if C makes noise during the Zoom meeting.  Is this threat credible, that is, will P actually withhold TV if C makes noise? Draw an extensive form and find the SPNE to answer this question.

(b)  Suppose that P gains only 1 jolly when C watches the TV show,

instead of 100. Now is it credible to threaten withholding it?

(c) At 6 pm, P may or may not let C have a cookie after dinner.  P obtains 0 jollies if C has the cookie, but C obtains 30 jollies from it.   Suppose at 9:30 am, P threatens to withhold the cookie if C makes noise during the Zoom meeting. Is this threat credible? Draw an extensive form and find an SPNE to answer this question. You can ignore the TV issue in this subpart.

7.  (15 points) This question is about the sequential moves Stag Hunt game.  There are two players.  Player 1 moves first, player 2 observes player 1’s move, and then player 2 moves.  Players get 10 jollies each if they both choose Stag; 5 jollies if they choose Hare; and 0 jollies if they choose Stag but the other player does not.

(a) What is the set of (pure) strategies for player 1? What is the set of (pure) strategies for player 2?