(1) Evaluate sin () and tan (− ).

(2) If sinθ =  and  < θ < π, what are the values of cos θ and tanθ?

(3) Sketch the graph of f(x) = 1 + sin ().

(4) Find the domain of the function

g(x) =         1       

ecos x − ^e .

(5) Sketch the graph of f(x) = ex−1 − 1.

(6) If g(x) = 2x , show that g(x + h) − g(x) = 2x (2h − 1).

(7) Determine whether the function f(x) =  is one-to-one and, if so, find a formula for the inverse function.

(8) Solve the equation ln x + ln(x − 2) = 1.

(9) Sketch the graph of y = ln|2x − 3|.

(10) Simplify the expression tan(2arcsin x).

(11) For the curve y = x2 , let P be the point on the curve where x = 2. Let Q1 , Q2  and Q3 denote the points on the curve where x = 3, 2.1 and 2.01. FInd the slope of the secant lines PQ1 , PQ2  and PQ3 .

(12) If the height at time t of a ball thrown up is given by y = 50t − 16t2 , find the average

(a) 0.1 sec;

(b) 0.01 sec.

(13) Sketch the graph of an example of a function satisfying limx→2+  f(x) = 1, limx→2 −  f(x) = 3, f(2) = 2, limx→3 −  f(x) = 4 and f(3) = 5.

(14) Determine the infinite limits limx→ 1+  x(x)1(2)  and limx→ 1 −  x(x)1(2) .

 . Evaluate

(b)  limx→ −1 f(x);

(c)  limx→ −1+  f(x).

(16) Evaluate limx→2  2(1) .

(17) If f(x) =  , evaluate limh→0 f(3+h−f(3) .

(18) Evaluate limx→2 f(x) if

f(x) = {

(19) Prove limx→ 1+  ^x − 1 = 0 using the ε,δ definition of limit.

(20) Prove limx→ 1 x2 x(−)1(x)+2  = − 1 using the ε,δ definition of limit.

(21) Prove limx→ 1+   ^3   = ∞ using the precise definition of infinite limit.

(22) Give a specific example (formula, not just graph) of a function that has a removable discontinuity at x = 1 and a jump discontinuity at x = 3, but is continuous elsewhere.

(23) Let

f(x) = { 

Determine whether f is continuous at x = 2.

(24) Show that the equation sin x =  has a solution on the interval‘,π,.

(25) Evaluate limx→∞ ( ^x2 + x − x).

(26) Evaluate limx→∞ e −x sin x.

(27) Find the horizontal and vertical asymptotes of the curve y = x2x2(−) .

(28) Find an equation of the tangent line to the curve y =  at the point (2, ) .

(29) Find the derivatife function for f(x) = ^x − 1 (you may only use the definition of the

(30) Let

{

Find the values of the constants a and b which will make f differentiable at x = 2.

(31) Evaluate

(a) f′ (x) for f(x) = x4 + ^3x4 ;

(b)   (t2 +  ) 't=2;

(c) g ′′ (4) for g(x) = x  .

(32) Find an equation of the tangent line to the curve y = x3 +^x at the point where x = 9.

(33) Find all the points on the curve y = 2x3 − 3x2 + 4 where there is a horizontal tangent.

(34) Evalluate

(a) f′ (1) for f(x) = ex (x2 + 1);

(b)   ( ).

(35) If f is differentiable and g(x) =  , give a formula for g′ (x) in terms of f and f′ .

(36) Suppose f is differentiable, (1, 2) is on the graph of f, and (1, 3) is on the graph of f′ . Evaluate limx→ 1 xf2 .

(37) Evaluate  ( ) 'x=  .

(38) Find all points where the curve y = x − 2cos x has a horizontal tangent.

(39) Evaluate limt→0  .

(40) Evaluate                   (a)   ^1 + tan(2t);

(b) f′ (2) if f(x) = ( ) 4 .

(41) Find the second derivative of f(x) = e2x cos(3x).

(42) If f is a differentiable function, find the derivatives of (a) f (x2 );

(b)  (f(x))2 ;

(c) f(f(x)).

(43) Find   for             (a) ^x +^2y = 1; (b) x = sin (xy3 ) .

(44) Find the equation of the tangent line to the curve x2 − xy + y2 = 7 at the point (3, 1).

(45) Find y′′  for the curve 9x2 + y2 = 1.

(46) Differentiate

(a) y = ln (x +^x2 + 1);

(b) f(x) = (ln(1 + ex ))3 .

(47) find  if y = xcos(2x) .

(48) Use the definition of derivative to prove limx→0   = 2.

(49) A particle moves according to s = t4 − 2t3  for t ≥ 0, t in seconds.

(b) When is the particle at rest?

(c) When is the particle moving in the positive direction?

(d) When is the particle speeding up? When is it slowing down? (e) Find the total distance traveled during the first 3 seconds.

(50) A ball thrown upward has height s = 40t − 16t2  feet after t seconds, until the ball hits

by the ball?

(51) If a tank holds 2000 gallons of water, which drains from the bottom of the tank in 20

minutes, the volume of water remaining in the tank after t minutes is V = 2000 (1 − ) 2

and 20 minutes. When is it flowing out the fastest? The slowest?

(52) Bismuth-210 has a half-life of 5 days. A piece initially contains 1000 mg. (a) Write a formula for the mass remaining after t days.

(b) Find the mass remaining after 20 days.  (In this and the remainder of this assign- ment, give exact answers.)

(c) When will the mass be reduced to 1 mg?

(53) A thermometer is taken from a room where the temperature is 70。  F to the outdoors where the temperature is 20。F. After one minute, the thermometer reads 50。F.           (a) What will be the reading on the thermometer after one more minute?

(b) WHen will the thermometer say 21◦  F?

(54) $1000 is deposited in a bank account with a 3% annual interest rate. Find the amount in the account after 20 years if the interest is compounded

(a) annually;

(b) monthly;

(c) continuously.

(55) A boat is pulled into a dock by a rope attached to the bow of the boat and passing through a pulley on the dock that is 2 meters higher than the bow of the boat.  If the rope is pulled in at the rate of 1 m/s, how fast is the boat approaching the dock when it is 20 m from the dock?

(56) A kite 120 ft above the ground moves horizontally at a speed of 15 ft/s. At what rate is the angle between the string and the horizontal decreasing when 200 feet of string has been let out?

(57) A Ferris wheel with radius of 12 m is rotating at a rate of one revolution every 2 .5 minutes. How fast is a rider rising when his seat is 10 m above the ground?

(58) The minute hand on a clock is 5 inches long and the hour hand is 3 inches long. What is the rate of change of distance between the tips at 3:00?

(59) Use a linear approximation (or differentials) to estimate (a) ^99.7;

(b) sin(44◦ ).

(60) The radius of a circular disk is given as 25 cm with a maximum error in measurement of 0.1 cm. Use differentials to estimate the maximum error in the calculated area of the disk.

(61) Prove tanh(x + y) =  .

(62) Find the derivatives of  (a) f(t) = sinh(cosh t); (b) y = arcsin(sinh x).

(63) Show that if y =  cosh(kx), then  = k 41 + ( )2 .

(64) Find the critical numbers of

(a) f(x) = |x2 − 4|;

(65) Find the absolute maximum and minimum values for y = x3 − 6x + 2 on [−2, 3].

(66) Find the absolute maximum and minimum values for f(x) = x − ln x on  [ ,e].

(67) Suppose f is a differentiable function and has at least three distinct roots. Show that f\ has at least two roots.

(68) Suppose 2 ≤ f\ (x) ≤ 5 for all values of x. Show that 18 ≤ f(10) − f(1) ≤ 45.

(69) For each of the following four functions, find (a) the intervals on which the funciton is increasing or decreasing, (b) the local maximum and local minimum points, and (c) the intervals of concavity and the inflection points.

(a)  f(x) = x3  − 3x + 2;

(b)  f(x) = 3x 3   − 4x;

(a) f(x) =  ;

(76) A rectangular box with an open top is to be constructed from a 3-by-5 rectangular piect of cardboard by cutting out a square from each of the four corners and bending up the sides. Find the largest volume the box can have.

(77) An architect wants to design a window in the shape of a rectangle capped by a semicircle. If the perimeter of the window is constrained to be 24 feet, what dimensions should the architect choose for the window in order to admit the greatest amount of light?

(78) A highway department plans to construct a road between twons A and B. Town A lies on an abandoned road that runs east-west. Town B is 3 miles north of the point on that road that is 5 miles east of A. The engineering department proposes that the road be constructed by restoring a section of the old road from A up to a point P and joining it to a new road that connects P and B. If the cost of restoring the old road is $200K per mile and the cost of the new road is $400K per mile, how much of the old road should be restored in order to minimize the department’s cost?

(79) A piect of wire 10 m long is cut into two pieces. One is bent into a circle and the other into an equilateral triangle. How should the wire be cut so that the total area is

(a) a maximum?

(b) a minimum?

(80) Find f if f′ (x) = x(2 − x)2  and f(0) = 1.

(81) A particle moves with acceleration a(t) = cost + 2sint.  If its position and velocity at time 0 are 0 and 2, respectively, find its position function s(t).

(82) Estimate the area under the curve y = ^x between x = 0 and x = 5 and lying above the x-axis using five approximating rectangles and right endpoints.  Sketch the graph and the rectangles. Is your estimate an underestimate or overestimate?

(83) For the definite integral l02 4x  dx, find the Riemann sum approximations with four in- tervals, using

(a) left endpoints;

(b) right endpoints.

Use a picture to explain inequalities relating your estimates to the actual integral.

(84) Using a limit of Riemann sums with sample points given by left endpoints, evaluate l05 (x2 − 2x)  dx.

(85) Evaluate the integral  l08 |x − 4| dx.               

(86) Which is larger, l01 ^1 + x3  dx or l01 ^1 + x dx? Explain. Do not try to evaluate these integrals explicitly.

(87) Let g(x) =l02x e −t2   dt. Find g\ (x).

(88) Evaluate l12 x^x dx.

(89) Evaluate l1^3   dx.

(90) Find c so that l02 f(x) dx = 0 if

f(x) = {cx2          

(91) FInd the general indefinite integral l x(x + 2)2   dx.

(92) Water flows out of a tank at a rate r(t) = 50 − 2t liters per minute. Find the amount of

(93) Evaluate l ex cos(ex )  dx.

(94) Evaluate l  dx.

π

(95) Evaluate l02  sinxcos(cosx)  dx.

(96) Find the area of the region bounded by the curves y = x3 − x and y = 2x.

(97) Find the area of the region bounded by the curves y = |x| and y = 2 − x2 .

(98) Find the area of the region bounded by the curves y = sin x and y = cos x which lies between the y-axis and the first point of intersection of the curves which has positive x.

(99) Use the method of washers to find the volume of the solid when the region between the curves y = x and y = ^x is rotated above

(a) x-axis;

(b) y-axis;

(c) One is larger than the other; give an intuitive explanation of why this should be true.

(100) Use the method of washers to find the volume of the solid obtained when the region between the curve y = 2 − x2  and the x-axis is rotated about the line y = −2.

(101) The base of a solid is the triangle with vertices at (0 , 0), (1, 0) and (0, 1).  The cross- sections perpendicular to the x-axis are semicircles. What is its volume?