1. Consider a three period binomial time-state model in which there are two securities, a bond and a stock. The payments made by these securities in each state are shown in the trees below:

Stock

g

1.00   ↘(╱)0(0)

<

<

0.64

bb

Bond

gg

1.21

一

一

gb

1.21

1.21

bg

<

<

1.21

bb

(i) Write down the payment matrix, Q, and corresponding price vector, pS ,  derived from the following elemental payment combinations:

B0:  Buy a Bond at period 0, sell it at the end of the next period;

S0:  Buy a Stock at period 0, sell it at the end of the next period;

Bg: At period 1, if the state is g, buy a Bond, sell it at the end of the next period; Sg: At period 1, if the state is g, buy a Stock, sell it at the end of the next period; Bb: At period 1, if the state is b, buy a Bond, sell it at the end of the next period; Sb: At period 1, if the state is b, buy a Stock, sell it at the end of the next period.

Solution

The Q matrix derived from the elemental payment combinations B0,  S0, Bg,  Sg, Bb,  Sb is as

follows:

╱ 一01 一01   0一1   0一1、

Q = 0      0     1.1   0.8     0      0

． 0      0      0      0     1.1   1.5．

The corresponding securities price vector is

pS  = ╱ 1   1   0   0   0   0、.

(ii) Compute the atomic security prices (i.e., the price of one dollar in each of the six future time- states: g, b, gg, gb, bg, bb). Write down the formula you used to derive the atomic security price vector.

Solution

The atomic security price vector can be derived from the Q matrix and its corresponding pS vector: patom = pS．Q-1 = ╱0.389 61   0.519 48   0.151 80   0.202 40   0.202 40   0.269 86、

(iii) Write down the payment matrix, Q, and corresponding price vector, pS , derived from the following elemental payment combinations:

B0:  Buy a Bond at period 0, sell it at the end of the next period;

S0:  Buy a Stock at period 0, sell it at the end of the next period;

Bb: At period 1, if the state is b, buy a Bond, sell it at the end of the next period; Sb: At period 1, if the state is b, buy a Stock, sell it at the end of the next period.

B02:  Buy a Bond at period 0, sell it at the end of period 2;

S02:  Buy a Stock at period 0, sell it at the end of period 2;

Solution

The Q matrix derived from the elemental payment combinations B0, S0, Bb, Sb, B02, S02 is as

follows:

╱ 0一1   0一 、

Q = 0      0      0      0     1.21   1.20

． 0      0     1.1   1.5   1.21   1.20．

The corresponding securities price vector is

pS  = ╱ 1   1   0   0   1   1、.

(iv) Verify the atomic security prices computed using the payment matrix Q in part (iii) is the same as the one found using the payment matrix Q in part (i).

Solution

The atomic security price vector derived from the Q matrix from part (iii) is the same as the vector derived from the Q matrix in part (i). They are different representations of the same market.

(v) Suppose an investor wants to obtain the following time-state payments: c = ╱0   10   20   20   30   40、\ .

The vector of payment combination holdings, n, is calculated as follows: n = Q-1 c.  Calculate n for both the Q matrices considered in (i) and (iii) above.

Solution

Using the elemental payment combinations from part (i) we get:

Using the elemental payment combinations from part (ii) we get:

(vi) Take each vector n from part (v) and calculate how much of the bond and stock the investor must buy or sell in aggregate in each state in period 1 to implement this dynamic strategy? Show your workings, and verify that both n vectors are describing the same overall strategy.

Solution

Taking the elemental payment combinations from part (i), the dynamic strategy is implemented as follows: