This document describes one of the available topics for the MSc-project in Financial Math- ematics.  The focus of the project is how an incorrectly specified model can affect the per- formance of a portfolio allocation strategy. When performing a stochastic optimization, one typically uses a model which describes the dynamics of relevant quantities and then finds the strategy which optimizes their subjective performance. However, any model of financial quantities is bound to be misspecified, that is, not the model under which reality operates. Thus, when the strategy derived under the assumed model is implemented in reality, it may be subject to risks which were not accounted for, and this is referred to as model risk.

The project consists of three parts.  The first part provides an overview of some relevant theory and techniques for general stochastic optimal control problems, as well as some specific to financial portfolio optimization.  The second part will derive optimal portfolio allocation for a specific reference model and will evaluate performance  (through the computation of some risk and reward metrics) under that model. Then a preliminary study of the effects of optimizing under a misspecified model will be investigated.  In the third part, the student will identify additional features which are not accounted for in the reference model and investigate other possible sources of error which can result in performance which is different than expected.

Part 1: Literature Review

Much of this project is based on the paper Merton (1969). The textbooks Bj¨ork (2009) and Oksendal (2013) give an overview of stochastic control techniques used to solve the problem, and also demonstrate the Merton portfolio optimization as an example. From these references you should present the general method by which a stochastic optimal control problem can be solved.  You should also present what financial assumptions are made in Merton (1969) and comment on those which you will explore further in Part 3.

Part 2: Reference Optimization

In this part you will use the techniques learned in Part 1 to solve the following portfolio optimization problem and investigate some features of the solution.  Suppose a risky asset has dynamics

dst  = u st dt + g st dwt ,                                                  (1)

where w is a Brownian motion, and u and g are constants with g  > 0.  There is also a risk-free asset which is assumed to grow at the risk-free rate, giving dynamics

dBt  = r Bt dt .                                                           (2)

If mt  denotes the fraction of wealth invested in the risky asset at time t (and thus 1 _ mt  is the fraction invested in the risk-free asset) then total portfolio value has dynamics

dxt(π)  = (r + (u _ r) mt )xt(π) dt + g mt xt(π) dwt .  For y > 0 and for z > 0 let the investor’s utility function be given by

uy (z) = ,

(3)

(4)

The utility is defined this way to be continuous with respect to both y and z.  Derive the optimal investment strategy mt  which maximizes expected utility of terminal portfolio value:

s  p Eπ(u) ┌uy (xT(π))┐                                                       (5)

Once the optimal strategy m*  is determined some performance metrics can be evaluated. Using parameter values r = 0.01, u = 0.05, g = 0.2, and T = 1, compute the expectation and standard deviation of the portfolio return for various values of y .  Construct a figure which shows the expectation of the return as a function of the standard deviation of the return.

Alternative Dynamics Simulation

Definition 1.  Given  a  trading  strategy  m,  the  certainty  equivalent  of that  strategy  is defined as the value zπ  e R which solves

uy (zπ ) = E ┌uy (xT(π))┐ .

In this section, you will consider the situation of applying the strategy m*  from the previous section to a risky asset which does not have dynamics given by (1). With w and Z Brownian motions, consider the alternative dynamics

dgt  = s gt (9 _ gt ) dt + 7 gt dZt ,                                        (7)

d[w, Z]t  = o dt .                                                                           (8)

The strategy m*  derived above now corresponds to a misspecified model. Nevertheless, per- form a Monte Carlo simulation of the portfolio wealth under these alternative dynamics when the investment strategy is m* .  For the parameter values indicated in Table 1, compute the certainty equivalent of the trading strategy and fill in the blank spaces. Use other parameter values of r = 0.01, u = 0.05, o = _0.5, 9 = 0.2, T = 1, y = 0.8, s0  = 1000, g0  = 0.2, x0  = 106 .

Note:  Some of these values can be computed exactly.  In those cases you can check the accuracy of your numerical solution.