Problem 1 [20 points].

Karen’s preferences over bundles in ℝ  are represented by CES utility function of the following

1

form: u(x1, x2 ) = [a1x1(p)  + a2x2(p)]p , where a1  + a2  = 1. The prices of the two goods are p1  > 0 and p2  > 0. The wealth is w > 0.

1)  [12 points] Solve Karen’s utility maximization problem by checking both first and second order conditions. Find both the Marshallian demand and the indirect utility function. (Hint: after writing down the first order conditions, you might want to check second order conditions for cases when p ≤ 1 and p > 1 separetely).

2)  [8 points] Now assume that p < 1  (strictly!). Set up and solve Karen’s expenditure minimization problem. Find the Hicksian demand and the minimal expenditure function.

Problem 2 [15 points].

Assume you have two consumers (A and B) in your economy that consume goods x and y in non- negative quantities. Consumer A has the following utility function uA (xA , yA ) = |xA  − yA |. The utility function of consumer B is uB (xB , yB ) = max{xB , yB }. The prices of goods are px  >

0 and py  > 0. Finally, assume that the wealth of consumer A is wA , and the wealth of consumer B is wB with wB  > wA .

1)  [10 points] Find Marshallian demands of consumers A and B for both goods. Explain your answer (writing down the final correct demand functions without explanation/illustration receives 2 points only).

2)  [5 points] Find the aggregate demand functions for each good. Is this aggregate demand function independent of wealth distribution? Explain.

Problem 3 [15 points].

John consumes non-negative quantities of two goods, 1 and 2. He has wealth w > 0 and faces the prices p1  > 0 and p2  > 0. John’s preferences are described by the following utility function: u(X1, X2) = X1  −  .

1)  [5 points] Set up utility maximization problem and find the Marshallian demand functions and the indirect utility function.

3)  [5 points] Set up expenditure minimization problem and find the Hicksian demand functions and the minimal expenditure function.

2)  [5 points] Find compensating (CV) and equivalent (EV) variation functions.

Problem 4 [40 points].

Stefania is a master student at UBC. She has recently received a scholarship for here outstanding research achievements in the amount of w > 0 (CAD). She is now trying to figure out what to do with this (extra) money. There is a safe asset (such as a US or Canadian government bond) that

has net real return of zero. There is also a risky asset with a random net return that has only two possible returns,

−1 < T0  < 0 with probability  and 0 < T1  < 1 with probability (1− ).

Let A ∈ [0, w] be the amount invested in the risky asset, so that (w − A) is invested in the safe asset. (Thus, if Stefania invests A in the risky asset, with probability  she would obtain (1+ T0 )A and with probability (1− ) she would obtain (1+ T1 )A from this investment).  Stefania is an expected utility maximizer with a strictly increasing and twice continuously differentiable Bernoulli utility function u(⋅).

1)  [12 points] Write out Stefania’s expected utility maximization problem and the associated first order conditions for the general case (i.e., with an arbitrary utility function u(⋅)). You should take full derivatives (e.g., apply the chain tule, etc.) whenever possible to simplify the first order conditions.

2)  [10 points] Now suppose Stefania’s Bernoulli utility function is u(X) =  ln (X)  and Stefania chooses to invest A ∈ (0, w) in the risky asset1. Find A as a function of w. Does Stefania put more or less of her portfolio into the risky asset as the amount of her scholarship increases? Do not forget to check the second order conditions.