1) (4 points) Let V be finite dimensional and let W ⊆ V be a subspace.  Recall the defi-

nition of the annihilator of W, Wo  from class. Prove using dual basis that dim(Wo ) = dim(V ) − dim(W)

(hint: extend basis....)

2) (3 points) Let V be any vector space (potentially infinite dimensional). Prove that (V\W)∗ ≃ Wo

(Hint: Universal property of quotient....)

Remark: This isomorphism gives another proof of problem 1, in the case when V is finite dimensional

3) (3 points) Let V, W be finite dimensional vector spaces over F and let T ∶ V → W be a linear map.  Recall the isomorphism we constructed in class ΦV  ∶ V → V ∗∗ by sending v to evv . Prove that the following diagram commutes

ΦV

∗∗

∗∗

ie, that ΦW  ○ T = T ∗∗ ○ ΦV   (Hint:  Recall that T ∗∗ ∶ V ∗∗ → W ∗∗ sends a linear functional φ ∶ V ∗ → F to the linear functional φ○ T∗ ∶ W ∗ → F. That is T∗∗ (φ) = φ○ T∗ ∈ W ∗∗ . You will then evaluate what this is on a linear functional γ ∈ W ∗ )

4) Let V be an n-dimensional vector space. We call a subspace of dimension n-1 a hyperplane. (a)  (1 point) If φ ∶ V → F is a nonzero linear functional, prove that ker(φ) is a hyperplane

(b)  (2 points) Prove moreover that every hyperplane is the kernal of a nonzero linear

functional.

(c)  (2 points) More generally, prove that a subspace of dimension d is the intersection of n-d hyperplanes (ie, from part b, is the intersection of n-d kernals of linear functionals). (Hint: Dual basis can be helpful here...)

5) Let V, W be finite dimensional vector spaces over F.

(a)  (3 points) Prove that

V ⊗ W ∗ ≃ L(V,W)

(b)  (2 points) Use this to prove that

(V ⊗ W)∗ ≃ L(V,W ∗ )

Unimportant Remark: Writing out the duals, this isomorphism above is saying that L(V ⊗ W,F) ≃ L(V,L(W,F))

That is, maps out of the tensor product of V and W into F correspond to maps from V into maps from W to F.  Such a result is in fact true more generally if we replace F with any other vector space, and is a foundational result in category theory/algebra:  the so called “tensor-hom adjunction.” Cool stuff

6) Consider the following vector spaces with corresponding basis:

V1 =R3

W1 =R[t]≤2

V2 =M2×2 (R)

W2 =M2×2 (R)

BV1  = {e1 ,e2 ,e3 }

BW1  = {1,t,t2 }

1   0      0   1      0   0      0   0

BV2  = {(0   0) , (0   0) , ( 1   0) , (0   1)}

1   0      0   1      0   0      0   0

BW2  = {(0   0) , (0   0) , ( 1   0) , (0   1)}

Now consider the following two linear transformations T1  ∶ V1  → W1  and T2  ∶ V2  → W2  given by

⎛a ⎞

T1 (⎜b ⎟) = a + b − ct + at2

⎝ c⎠

⎛   a1     a2    ⎞       2a2      a4