The goal of the problem set is to give you practice in mastering the course material.

Try to give short, but precise answers, and always justify your solution.

You are expected to solve these exercises together with the other students of the group that you have been assigned to. It is sufficient to hand in one solution for each group.

In any case, you are asked to identify all your collaborators on the front page of your solution. If you obtain a solution through research (e.g., on Internet), you must acknowledge your source (on page 2 of this PDF) and write up the solution in your own words. It is a violation of this policy to submit a problem solution that you, i.e. any member of your group, cannot orally explain to the professor.

Submit your solution by June 11 (Saturday) 8pm (JST) electronically on Waseda Moodle in a single PDF file.

Try to write your solutions directly in this PDF, but you can use additional pages if necessary.

REFERENCES

Note that doing some research and collaborating with others are permitted, but you must list here all the sources (e.g., books, articles, websites, friends, professors, family members) that you have consulted for solving this problem set.

If you have solved the problem set without consulting any sources, write“none”.

A´ rpa´d and Be´la are each given one of two cards.   One card is blank, and the other is marked with a cross. A player can put a cross on the blank card or erase the cross on the one already marked. A´ rpa´d and Be´la make their decision in isolation and they hand in the card simultaneously.

Nobody wins anything unless there is one and only one cross on the two cards when they are handed in. In this case, the player who hands in the card with the cross wins ¥20 000, and the player who hands in the blank card wins ¥10 000.

(a)  Represent the game in strategic form.

2 points

(b)  Find the Nash equilibria of the game (in pure strategies).

1 point

(c)  What would you do if you played this game and were given the blank card? Why?

1 point

Two commanders, Colonel Spicces and Count Vicces, are strategizing over ten locations whose importance is valued at 11, 12, 13, .  .  . , 20. Colonel Spicces has five companies, Count Vicces has four. Each company can be sent to exactly one location, and no more than one company can be sent to any one location. Colonel Spicces and Count Vicces make their decisions simultaneously. A commander who attacks an undefended location captures it. If both commanders attack the same location, the result is a standoff at that location.  A commander’s payoff is the sum of the values of the locations he captures minus the sum of the values of the locations captured by the opponent.  Standoffs give 0 payoff to both commanders.

(a)  How many pure strategies does Colonel Spicces have? How about Count Vicces?

1 point

(b)  What would Colonel Spicces do in the unlikely event that he knew what a dominated

strategy was? Explain why!

3 points

According to Wikipedia,

“The Bottle Imp” is an 1891 short story by the Scottish author Robert Louis Stevenson usually found in the short story collection Island Nights’ Entertain- ments.  It was first published in the New York Herald (February-March 1891) and Black and White London (March-April 1891). In it, the protagonist buys a bottle with an imp inside that grants wishes.  However, the bottle is cursed; if the holder dies bearing it, his or her soul is forfeit to hell.

Of course, there is a catch. The bottle must be sold, for cash, at a loss, i.e. for less than its owner originally paid, and cannot be thrown or given away, or else it will magically return to him.  All of these rules must be explained by each seller to each purchaser. If an owner of the bottle dies without having sold it in the prescribed manner, that person’s soul will burn for eternity in hell.

(a)  Assuming that the smallest possible unit of currency is a cent and that prices cannot be negative, propose a game that represents the sale of the bottle to successive owners.

2 points

(b)  Analyze the game using backward induction.

2 points

(c)  Would you buy the bottle if it were offered to you for $1 000? If your answer is not consistent with the backward induction analysis, explain your reasoning.

1 point

Consider a strategic interaction between two players, an attacker and a defender.               The defender is defending a location that has two access roads: an easy path and a hard path. Therefore, the defender can defend either the easy path or the hard path. Likewise,

the attacker can attack from either the easy path or the hard path.

The four possible outcomes of the interaction are as follows.

•  If the attacker attacks via the easy path and the defender defends the easy path, then they meet and fight. On the easy path, there is a 50-50 chance that a given army wins. Let the payoffs to this outcome be (1, 1).

•  If the attacker attacks via the easy path and the defender defends the hard path, then the attacker can capture the location without serious confrontation.  Let the payoffs to this outcome be 2 to the attacker and 0 to the defender.

•  If the attacker attacks via the hard path and the defender defends the easy path, then they do not meet. In this scenario, however, the attacker suffers serious losses due to moving through the hard path and is not able to capture the location. Let the payoffs to this outcome be (1, 1).

•  If the attacker attacks via the hard path and the defender defends the hard path, then they meet. However, due to the serious losses that the attacker endures on the hard path, the attacker can be easily defeated by the defender.  Let the payoffs to this outcome be 0 to the attacker and 2 to the defender.

(a)  Assume that players move sequentially: the attacker moves first, the defender sees the attacker coming and chooses to defend a certain path.

i.  Find the Nash equilibria (in pure strategies) of this game.

2 points

ii.  Which of the Nash equilibria is subgame perfect?

1 point

(b)  Assume that players move sequentially: the defender moves first, the attacker sees the defender’s preparations and chooses to attack via a certain path.

i.  Find the Nash equilibria (in pure strategies) of this game.

2 points

ii.  Which of the Nash equilibria is subgame perfect?

1 point

(c)  Assume that players move simultaneously:  the attacker does not know where the defender is going to defend, and the defender does not know where the attacker is going to attack.

i.  Find the Nash equilibria (in pure strategies) of this game.

1 point