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ELEC4631 Quiz 2

1.  (35 marks in total) State-space similarity transformations and the modal canonical form are important in the analysis of state-space systems.  This course covers only a restricted form of the modal canonical form where all eigenvalues are real and distinct.  An important feature of the modal canonical form, since the A matrix is diagonal, is that the time evolution of the state component xj   is independent of the other state components xk   for all k   j .   Thus, there is a convenient decoupling of the state components that makes analysis much easier.

More generally, the modal canonical form can be defined for complex and repeated eigenvalues though not covered in the course.

Consider the following second order system in modal canonical form:

x˙ =  x + 1(0)  u

y = 1   4 x.

Answer the following questions:

(a)  (10 marks) Determine the solution x(t) and y(t) of the system for arbitrary initial states

x  and arbitrary inputs u.

(b)  (5 marks) Find a transformation T that brings the system into observer canonical from.

(c)  (10 marks) Using the transformation T from sub-problem (b) compute the observer canon- ical form for this system.

(d)  (10 marks) Let z(t) be the state of the observer canonical form from sub-problem (c). Reusing the solution in part  (a) for the original system in modal canonical form and without repeating the same calculations there, determine the solution for the state z(t) and the output y(t) for arbitrary inputs u when its initial state is z╱  = [ 1   0 ]T .

2.  (20  marks  in  total) You have a second order system with A  =   and B  = [ 1   ·3 ]T .   You do not have access to the states of the system but you have a range of different sensors that you may use that give diffferent outputs as follows:

. Sensor 1 gives the output y = [ ·4.95   ·2.51 ] x

. Sensor 2 gives the output y = [ 2   1 ] x

. Sensor 3 gives the output y = [ 0   1 ] x

You are allowed to choose only one sensor.  Which sensor would you use for output feedback control of the system based on the sensor output y? Explain:

(a)  (15 marks) The reason for your choice.

(b)  (5 marks) A potential advantage of your chosen sensor over another in terms of the observer

gain L when used with a Luenberger observer.

3.  (20 marks) Consider the state-space system

x˙ =  x + 1(1) u

y = [ 2   1 ] .

Using Ackermann’s formula for state-feedback and observer design (no marks will be given for using other methods).  Design a state-feedback gain K and an observer gain L so that the closed-loop system has two eigenvalues at ·2 + J and another two at ·2 · J.

4.  (25 marks in total) The infinite horizon LQR problem is more subtle because in the limit tf  → & divergences can emerge, which must be taken into account in order to have a sensible solution. In the LQR lecture, two conditions are imposed for the infinite horizon problem, (i) the pair (A, B) is controllable and (ii) the pair (Q/2, A) is observable.  A basic example has been given in the lecture to show what can happen when condition (ii) is violated.  In this exercise, using nothing more than the basic concepts covered in the lectures, you will work through a slightly more complex but also more illuminating example of what can go wrong when (i) is satisfied but not (ii). Answer the following questions:

(a)  (10 marks) Consider the rst order system:

x˙ = 2x · u.

Compute the optimal control law that minimises the following infinite-horizon cost:

J (x, u) =       (4x(t)2 + ru(t)2 )dt,

where r > 0 is some constant.

(b)  Consider now the second order system

x˙ = 1(3)   2(0) x + 1(2) u,

where x = (x , x2 )T  with the following infinite-horizon cost:

J (x, u) =       (4(x (t) · x2 (t))2 + ru(t)2 )dt (r > 0).

For this problem condition (i) is met but not (ii). Nonetheless, you can show that there still is a minimiser of the cost function for this sub-problem. Answer the following questions:

(1)  (5 marks) Show that (Q/2, A) for this problem is not an observable pair.

(2)  (6 marks) Using a modal canonical form for this second order system given by the

transformation matrix

T =  ,

(you will only need the A and B matrices of the modal canonical form), determine the optimal control law for the problem above.   Hint:  Use what you know from sub-problem (a).

(3)  (4 marks) Show that under the optimal control law, limt2→ lx (t)l = & from some initial states.  Thus the  optimal” control law fails to make the closed-loop system asymptotically stable.  The purpose of condition (ii) is to exclude such undesireable scenarios.