MAT3379 INTODUCTION TIME SERIES Assignment 3

Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

MAT3379 INTODUCTION TIME SERIES

Assignment 3

QUESTIONS

(Q1) Two hundred observations from AR(2) yields the following sample statistics:

 = 3.82 ,    X (0) = 1.15 ,    X (1) = 0.427 , 2  = 0.475.

 


(Q2) nouns(2 points) Consider process MA(2):

Xt  = ϵt + θ1 ϵt−1 + θ2 ϵt−2 .

{ϵt } is white noise, we have n = 20 observations. Based on the observation, We estimate θˆ = 0.1 and θˆ2  = −0.05. Given an estimate of σϵ(2)  . n = 20 observations, the sample           variance X is 9.

The answer:

 

σˆϵ(2)  =


(Q3) Maximum Likelihood Estimation for AR(p) models.

Consider AR(1) model Xt  = ϕXt−1 + Zt, where Zt are i.i.d. normal random variables with mean zero and variance σ Z(2) . Derive MLE for ϕ and σ Z(2) . (Hint: You should get    formulas as in Lecture Notes, but I need to see calculations).

 

(Q4) Consider AR(2) model Xt − ϕXt−1 − ϕXt−2  = Zt (note that ϕ1  = ϕ2  = ϕ). Find the MLE of ϕ .


(Q5) We have a AR(1) time series with the following output for autocorrelation:

Autocorrelations  of  series  ‘X’, by  lag

0           1           2          3          4           5           6          7           8           9         10 1 .000   0 .492   0 .234   0 .102  -0 .044 -0 .054  -0 .013   0 .012   0 .011   0 .048   0 .182

Also: n = 100, X (0) = 1.24,  = 0.04. If the last two observations are X100  = 0.76,


(Q6) I considered a data set of size 200. The data set, called Data, has no trends. I fitted AR(1) model. Below, you find output of acf function.

0           1           2          3          4           5           6          7           8           9         10

1 .000   0 .777   0 .648   0 .522   0 .400   0 .298   0 .202   0 .126   0 .043 -0 .017  -0 .023  11         12         13         14         15         16         17         18         19         20         21 -0 .047 -0 .060  -0 .084 -0 .137  -0 .165 -0 .187  -0 .161 -0 .125  -0 .108 -0 .062  -0 .052

Also, the sample variance of our time series is 2.57 and  = 0.

(a) Find the Yule-Walker estimates of ϕ and σ Z(2) .

(b) Compute 95% confidence interval for ϕ . Note: z0.025  = 1.96.

(c) I typed Data[195:200] and obtained

0 .4642967 -0 .3179734  -0 .0987933   1 .1952591   1 .3390433 -0 .2882120

Predict the 201st value. What is the mean square error of this prediction?

(Q7) (Theoretical/Practical Question) In this question we develop Yule-Walker estimators in AR(1) and ARMA(1, 1) models and study their numerical performance.

Recall from lectures that in AR(1) model Xt  = ϕXt−1 + Zt the Yule-Walker estimator is

γX (1)

γX (0)

(a) Numerical experiment for AR(1):

∗ Load into R the file Data-AR.txt. (Just type Data=scan(file.choose()) and then copy and paste). This is data set generated from AR(1) model with ϕ = 0.8.

∗ Type var(Data) to obtain γX (0).

 

 

HINT: You should get

ϕ =  ,    γX (1) = ϕγX (0) + θσZ(2)  ,    γX (0) = σZ(2)   1 +  .

(c) Numerical experiment for ARMA(1, 1):

∗ Load into R the file Data-ARMA.txt. (Just type Data=scan(file.choose()) and    then copy and paste). This is data set generated from ARMA(1, 1) model with ϕ = 0.8 and θ = 1.

∗ Write the final values for ϕ, θ and σZ(2) .




















2022-07-13