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Problem Set 4

1. Let p be a prime and d be a positive integer such that d l p - 1.  Using Lagrange’s theorem, show that

the congruence

xd - 1 = 0    (mod p)

has exactly d solutions in zp .  (Hint: xd - 1 divides xp − 1 - 1).

2.   (a) Find all positive integers n such that

n . 2n + 1 = 0    (mod 3).

(b) Let p  3, 5, 7 be a prime. Prove that there are infinitely many integers n satisfying the congruence n . (315)n + 2022 = 0    (mod p).

3. Let p > 5 be a prime. Prove that

p(p + 1) l (p - 1)! + p + 1.

4. Let n be an odd positive integer passing base  3 test, i.e.  3n  = 3  (mod n).  Prove that  also passes the base 3 test.

5. Let f (x) be a polynomial with integer coefficients and p be a prime. Prove that the congruence

f (x) = 0    (mod p2 )

has either p2  solutions or it has at most p2 - p + 1 solutions in zp2 .

6. Let S = {u : 1 s u s n - 1 and gcd(n, u) = 1} be the set of units modulo n, where n > 2. Let’s denote the elements of S by u1 , u2 , . . . , uk, i.e. S = {u1 , u2 , . . . , uk}. Prove that

(a) u1 + u2 + . . . + uk  =  , and

(b)  (u1u2 . . . uk)2 = 1  (mod n).