1.  Decide if the following statement is  True or False:

Let R+  = {r ∈ R|r > 0}, and V = (R+ )n  = {(x1 , . . . , xn ) | xi  ∈ R+  for each  i}.

Define a vector sum operation +′  and a scalar multiplication operation .′  by:

(x1 , . . . , xn ) +′ (y1 , . . . , yn ) = (x1 y1 , . . . , xn yn ),

c .′ (x1 , . . . , xn ) = (x1(c) , . . . , xn(c)).

Then V is a vector space with these two operations.

Indicate your final answer by filling in exactly one circle below (unfilled ◦   filled •) and justify your choice with a proof or counter-example.  [5 marks]

© True

© False

2.  Decide if the following statement is  True or False:

Let U and V be finite dimensional vector spaces, and let T ∈ L(U, V). If dim Im T = min{dimU, dimV }, then T is either injective or surjective.

Note: min{A,B} = the minimum of the two values of A and B .

Indicate your final answer by filling in exactly one circle below (unfilled ◦   filled •) and justify your choice with a proof or counter-example.  [5 marks]

© True

© False

3.  Decide if the following statement is  True or False:

Let V be a vector space, and let T : V → R be a linear transformation.  Suppose that x, y ∈ V are linearly independent vectors, and that Tx = 3 and Ty =  . Then there exists a non-zero vector z ∈ V such that Tz = 0.

Indicate your final answer by filling in exactly one circle below (unfilled ◦   filled •) and justify your choice with a proof or counter-example.  [5 marks]

© True

© False

4.  Decide if the following statement is  True or False:

Suppose U and W are both five-dimensional subspaces of R9 . Then U ∩ W = {0}.

Indicate your final answer by filling in exactly one circle below (unfilled ◦   filled •) and justify your choice with a proof or counter-example.  [5 marks]

© True

© False

5.  Decide if the following statement is  True or False:

Let U, V, W be vector spaces and S : U → V,  T : V → W be linear transformations.  Then TS is bijective if and only if both S and T are bijective.

Note: T is bijective means T is both injective and surjective.

Indicate your final answer by filling in exactly one circle below (unfilled ◦   filled •) and justify your choice with a proof or counter-example.  [5 marks]

© True

© False

6.  Suppose V1 , . . . , Vm  are vector spaces .  Prove that L(V1  × · · · × Vm , W) and L(V1 , W) × · · · × L(Vm , W) are isomorphic vector spaces .  [5 marks]

7.  Let M and N be n × n matrices .  Prove that if M and N are similar,  then there is  a linear transformation T : Rn  → Rn  and bases µ and ν for Rn  such that [T]µ(µ)  = M and [T]ν(ν)  = N.

[5 marks]