1. Exercise 4.5.3

Let X  have a pdf of the form f (x; θ)  =  θx9 _1 ,  0  <  x  <  1,  zero elsewhere, where θ ← {θ : θ = 1, 2}.  To test the simple hypothesis H0   : θ = 1 against the alternative simple hypothesis H1  : θ = 2, use a random sample X1 , X2  of size n = 2 and define the critical region to be C = {(x1 , x2 ) :  ≤ x1 x2 }. Find the power function of the test.

2. Exercise 5.1.5

Let X1 , . . . , Xn  be iid random variables with common pdf

,e_(z_9)      x > θ,  -& < θ < &

This pdf is called the shifted exponential.  Let Yn  = min{X1 , . . . , Xn }.  Prove that Yn  → θ in probability, by first obtaining the cdf of Yn .

3. Exercise 5.1.7

For Exercise 5.1.5, obtain the mean of Yn . Is Yn  an unbiased estimator of θ? Obtain an unbiased estimator of θ based on Yn ,

4. Exercise 5.2.2

Let Y1  denote the minimum of a random sample of size n from a distribution that has pdf f (x) = e_(z_9),  θ < x < &, zero elsewhere.  Let Zn  = n(Y1  - θ).  Investigate the limiting distribution of Zn .

5. Exercise 5.2.4

Let Y2  denote the second smallest item of a random sample of size n from a distribution of the continuous type that has cdf F (x) and pdf f (x)  =  F\ (x).   Find the limiting distribution of Wn  = nF (Y2 ).

6. Exercise 5.3.13

Using the notation of Example 5.3.5, show that equation (5.3.3) is true.

pˆ - p        d

′pˆ(1 - pˆ)/n

7. Exercise 6.1.1

Let X1 , X2 , . . . , Xn be a random sample from a Γ(α = 3, β = θ) distribution, 0 < θ < &. Determine the mle of θ .