Part I For each statement that follows, answer true  (T) if the statement is always true and false  (F) otherwise.

1.  (         ) If a linear system has no solution, we say that the system is inconsistent

2.  (         ) Linear equation system Ax = 0 must be consistent.

3.  (         )  Two systems of equations involving the same variables are said to be equivalent if they have the same solution set.

4.  (         ) An n × n matrix A is said to be nonsingular or invertible if there exists a matrix B such that AB = I .

5.  (         ) If A and B are n × n matrices, then A + B = B + A .

6.  (         ) If A and B are n × n matrices, then (A 一 B)2 = A2 一 2AB + B2 .

7.  (         ) A linear system is said to be under-determined if there are more equations than unknowns.

8.  (         )  Over-determined systems are always inconsistent.

Part II Chose the right answer to each question.

1.  (     ) Which of the following matrix is in row echelon form?

2.  (     ) Which of the following matrix is in reduced row echelon form?

A = ╱ 、 B = ╱ 、 C = ╱ 、 D = ╱ 0(1)   0(0)

( 0   0   0 ． ( 0   2   4 ． ( 0   0   1   5 ． ( 0   0

3.  (     ) Let A be a 3 × 3 matrix and suppose that

3a1 + 2a2 一 5a3 = 0,

how many solutions will the system Ax = 0 have?

A. 0                        B. 1                       C. 2                       D. infinitely many

Part III Find solutions to the following questions.

1. Use Gaussian reduction to solve the following system

一x1 一 2x2 + 3x3     = 1

3x1 一 7x2 + 4x3     = 10

Compute 2A, A + B, AB and BT AT

3.  Consider a linear system whose augmented matrix is of the form

╱ 11(5) 、

( 1   3   a b ．

(a) For what values of a and b will the system have infinitely many solutions?

(b) For what values of a and b will the system be inconsistent?

Linear Algebra Exercise 2 (chapter 1.4-1.6)

Part I For each statement that follows, answer true  (T) if the statement is always true and false  (F) otherwise.

1.  (         ) An n x n matrix A is nonsingular if and only if the reduced row echelon form of A is I  (the identity matrix).

2.  (         ) If A is nonsingular, then A can be factored into a product of elementary matrices.

3.  (         ) If A and B  are nonsingular n x n matrices, then A + B  is also nonsingular and (A + B)− 1 = A− 1 + B − 1 .

4.  (         ) If A is a 4 x 4 matrix and a1 + 2a2 = a3 + a4 , then A must be singular.

5.  (         ) If A  and  B  are  nonsingular  n x n  matrices,  then  AB  is  also  nonsingular  and (AB)− 1 = B − 1 A− 1 .

6.  (         ) If A and B are n x n matrices, then A + B = B + A .

7.  (         ) If A and B are n x n matrices, then (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 .

8.  (         ) If A and B are n x n matrices, then (A + B)T  = AT + BT

9.  (         ) If A and B are n x n matrices, then (AB)T  = AT BT .

10.  (         ) If E is an elementary matrix, then ET  is also an elementary matrix.

2.  (     ) For the following pair of matrix, find an elementary matrix E such that EA = B

A = ╱ 、 B = ╱ 、

(  1   0   8 ． (  1   0   8 ．

E equals

(A)  E1 = ．(、)                    (B)  E2 = ．(、)

(C)  E3 = 0(1)   2(0)   0(0) ．(、)                    (D)  E4 = 0(2)   1(0)   0(0) ．(、)

3.  (     ) For the following pair of matrices, find an elementary matrix E such that EA = B

E equals

A. ╱ 0(1) ( 2

A = ╱ 2(1)

( 1

B = ╱ 2(1)   3(1)

( 3   4

Part III Find solutions to the following questions.

1. Let A and B be symmetric n x n matrices. Determine whether the given matrices must be symmetric or could be nonsymmetric:

(a)  C = A2

(b)  D = ABA

2.  Prove that if A is nonsingular then AT  is nonsingular and

(AT)− 1 = (A− 1 )T .

4. Let

A = ╱ 3(5)   2(3) 、 B = ╱ 2(6)   4(2) 、 C =

Solve the following matrix equation

AX + B = X

5. Let A be a nonsingular n x n matrix. Calculate

╱ A1 、╱ A   I 、