1.   (10 points) For which value of a is the following system of equations in the variables x, y, and z inconsistent?

x + 2y - z = 1

ax + ay + 3z = 0

y - 2z = 2

A.   a = 0

B.   a = -3

C.   a = 3

D.   a = 2

E.   a = -2

2.   (10 points) Let A be an m × n matrix. Which of the following statements must be true?

(i)   If equation Ax = b is consistent for each b e Rm  then rank(A) = n. (ii)   If equation Ax = 0 has only trivial solution, then rank(A) = n.

(iii)   If rank(A) = n then rows of A form a linearly dependent set.

(iv)   If rank(A) = n and A is square matrix then A is invertible.

(v)   If rank(A) = m and the linear transform x 1→ Ax is one-to-one then A is invertible.

A.   (i), (ii) and (iv) only

B.   (ii), (iii) and (v) only

C.   (i), (ii), (iv) and (v) only

D.   (ii), (iv) and (v) only

E.   all are true

3.   (10 points) Let T : Rn  → Rm be a one-to-one linear transformation. Let A be the matrix associated to T. Which of the following statements is not always true?

A.   If v1  and v2  are linearly independent, so are T (v1 ) and T (v2 ).

B.   If T (v) = 0, then v = 0.

C.   m > n.

D.   T (v + w)=T (v) + T (w) for all v, w e Rn .

E.   For all b e Rm , the equation Ax = b is consistent.

4.   (10 points) Which of the following statements must be TRUE?

(i) If T  : R2   → R2  is the linear transformation associated to a 2 × 2 matrix A and AT A is the identity matrix, then for any parallelogram S, the area of T (S) is the area of S .

(ii) A homogeneous linear system of n equations in n variables has infinitely many solu- tions if and only if the determinant of the coefficient matrix is zero.

(iii) If A is an n × n matrix with non-zero determinant, then A is invertible and the

inverse of A is given by

A− 1  = A.

(iv) If T : R3  → R3  is the linear transformation associated to a 3 × 3 matrix A such that there is some parallelepiped S for which T (S) is a flat parallelogram, then det(A) = 0.

A.   (i) and (iv) only

B.   (iii) and (iv) only

C.   (i), (ii), and (iv) only

D.   (ii), (iii) and (iv) only

E.   all are true

5.   (10 points) Which of the following collection of vectors is linearly independent?

A.   {'(┌)45---96(5)--32(2)'(┐) } ┌ 1┐   ┌3┐   ┌ 22┐

'0'   '0'   ' 0 '

C.   {'(┌)'(┐) }

D.   {'(┌)'(┐) }

E.   {'(┌)2(2)4-(-)3(3)'(┐) }

6.   (10 points) Assume that the determinant of the matrix A =  '(┌)        '(┐) is -2. What is the determinant of the matrix B =  '(┌) 3a -b + c   3d - + f   3g - h + i '(┐) ?

A.   -12

B.   12

C.   -24

D.   6

E.   -6

┌ 2(3) ┐             ┌ 3(0) ┐             ┌ - 1(1) ┐

7.   (10 points) Let B = (v1 , v2 , v3 }, where v1  =  '(') 1  '(') , v2  =  '(') 4  '(') , v3  =  '(') -3  '(') is a ' 2 '             ' 1 '             '    2 '

linearly independent set.  Denote H = Span(v1 , v2 , v3 } which is a subspace of R4 .  Is

┌ -8(9) ┐

x =  '(') -1   '(') in H?  If so, find the B - coordinate vector of x.

' -5 '

A.   x is in H and the B - coordinate vector of x is  ┌ -1(3) ┐

'     1 '

B.   x is in H and the B - coordinate vector of x is  ┌ -3(2) ┐

'  -3 '

C.   x is in H and the B - coordinate vector of x is  ┌ -2(3) ┐

'     1 '

D.   x is in H and the B- coordinate vector of x is  ┌ -3(2) ┐

-2

E.   x is not in H

8.   Let T : R3  → R3  be a linear transformation with

T │ '(┌)0(1)'(┐)、 =  '(┌)0(1)'(┐) ,     T │ '(┌)1(0)'(┐)、 =  '(┌)1(2)'(┐) ,     T │ '(┌)0(0)'(┐)、 =  '(┌)4(3)'(┐) .

(2 points)(1) Let A be the standard matrix of T, find A.

(3 points)(2) Find the image of the vector u =  ┌ 2(1) ┐

'-1' .

(5 points)(3) Is the vector b =  '(┌)'(┐) in the range of T? If so, find a vector x in R3  such

that T (x) =b.

9.   Consider the following matrix

A =  ┌ -2(1)

'   0

0   -5

1     6

2   -8

1

-2

1

-2(4)┐

9' .

(4 points)(1) Find the REDUCED row echelon form for the matrix A.

(4 points)(2) Find a basis for the null space of A.

(2 points)(3) Find a basis for the column space of A.

(3 points)(1) Find the determinant of A.

(3 points)(2) Find the determinant of 2A and the determinant of (2A)− 1 .

(4 points)(3) Let B be the inverse matrix of A, find the (2,3)-entry of matrix B.