Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

Calculus II Math 152

Learning Objectives and Questions

This document lists learning objectives and several corresponding questions for Math 152 Calculus II challenges.  The purpose is for both instructors and students to be transparent on the exact goals of the course. CORE Learning Objectives are especially important for your success.

1. Riemann Sum Computations [CORE]. I can estimate the signed area between a function and the x-axis ever more accurately using Riemann sums.  This is perhaps the most important idea in all of Calculus 2 since in later applications we use the same process to estimate various quantities using their rates of change.

Criteria for Success: I can

● calculate a left, right, or midpoint Riemann sum for a given function and partition

● go back and forth between an expanded sum and its sigma notation

● use the sigma notation to compute Riemann sums for an arbitrary number of rectangles

● use Riemann sums to estimate the displacement of some moving object, or total accumulation of some quantity

Resources:

● Fall 2020 Challenges question number 1 in each challenge (see MS Team general channel/Class Notebook/Content Library/Fall 2020 Challenges)

● Week 1 InClassActivity01: Questions 3, 4, 5, 6, 11

● Week 1 Online Homework: 4. 1: Question 5

● Week 1 Post-Monday-Class-Activities

● Week 1 Reading and Videos: 4.0, 4. 1, 4.2

● Week 2 Pre-Monday-Class-Activities except InClassActivity02

Sample questions:

● Consider the graph of f (x) = x/2 on the interval [1, 4].

(a)  Approximate the signed area between y = x/2 and the x-axis on the interval [1, 4] using any

Riemann Sum you wish with 3 rectangles of equal base lengths. Make sure to draw a sketch of the function and the rectangles clearly indicating your choice of left, right, or midpoint Riemann sum. Use desmos https://www.desmos.com/calculator/oceoomwdiyto help with visualization.

Sketch of function with rectangles:                                           Riemann sum computation:

(b)  Express the above Riemann sum computation using sigma notation, where the expression in- side the sigma symbo is suppose to be an explicit function of k.

=

1its(之) ^ 5 using the

● Scientists have mapped out a 100-km path on the surface of Mars for a rover to follow, and have collected satellite data about the composition of the Martian surface at various points along the route using a LiDAR Spectrometer.   Find left and right Riemann sums for dust accumulation. Report answers using sigma notation, where the expression inside the sigma symbo is suppose to be an explicit function of the index k of summation .

=

● Express the signed area between y = x/2 and the x-axis on the interval [1, 4] in sigma notation using any Riemann Sum you wish with n rectangles of equal base lengths for some arbitrary whole number n. Note that the answer is supposed to contain the variables k, n in it since we would like a general formula we can easily modify for diferent values of n, and the summation index is k.

=

2. Denite Integrals [CORE]. I can switch between diferent ways of thinking about the definite integral. The definite integral is the main mathematical concept we will analyze in this course to compute all sorts of quantities depending on the context.

Criteria for Success: I can

● analyze the Riemann sum definition of a definite integral

● use area formulas from geometry to compute a definite integral, and vice verse, use a definite integral to compute areas

● use properties of definite integrals as needed without relying on the Fundamental Theorem of Calculus.

Resources:

● Fall 2020 Challenges question number 2 in each challenge (see MS Team general channel/Class Notebook/Content Library/Fall 2020 Challenges)

● Week 1 InClassActivity01: Questions 11, 15, 16, 17

● Week 1 Online Homework: 4.0 Questions 4, 9, 10; 4.2 All Questions; 4.3 All Questions

● Week 1 Reading and Videos: 4.2, 4.3

● Week 2 Pre-Monday-Class-Activities All items with Definite Integrals in title.

● Week 2 InClassActivity02: Questions 2

● Week 2 Online Homework: 4.4 Question 1; 4.5 Questions 8, 9

Sample questions:

● Answer the following questions:

b

(a)  What is the formal Riemann sum denition of a denite integral f (x)dx?

a

(b)  Which expression from the Riemann Sum definition of the definite integral represents the green shaded region?

(a) f (xk)之x

7

(b) f (xk)之x

=0

b

(c) f (x)dx

a

n

(d)  n(l)im^』 f (xk^1 )x

● Find the following definite integrals using area formulas from geometry and properties of definite integrals, without using the Fundamental Theorem of Calculus.  Sketch a graph representing the integral.

10

(a)          |9 ^ x| ^ 5dx =

^3

● Let A(x)  =       2tdt.  Answer the following questions using geometry, without using the Fun- damental Theo(^)2rem of Calculus.  See https://www.desmos.com/calculator/ihgs6a6nlv to help with visualization.

(a) A(2) =

(b)  For any real number x, we have A(x) =

Use the sketch below of the graph of y = f (x) on the interval [^4, 5] to answer the following

denite integrals.

3

(a)         2f (x)dx =

^4

1

(b) f (x 1)dx =

^1

1

(c) f (x) 1dx =

^1

3. FTC Applications [CORE]. I can use Fundamental Theorem of Calculus (FTC) to compute displace- ment and accumulation.  The Fundamental Theorem of Calculus is really the magic behind this class, which lets us compute easily and exactly quantities such as areas of curved shapes that are otherwise impossible to compute. Often times, we are able to measure, or are given information about the rate of change of some quantity. We can use definite integrals to compute the change of the quantity in question by interpreting it as the signed area between the rate of change graph and the x-axis on some desired interval.

Criteria for Success: I can

● compute the distance and displacement of a moving object using a definite integral

● find the total net change or accumulation of some quantity through a definite integral, and use appropriate units

● find antiderivatives of functions using the Fundamental Theorem of Calculus

● analyze definite integrals with functions as bounds

Sample questions:

● Water is pouring out of a pipe at the rate of f (t) gallons/minute as graphed below.

3

t

1

5

(a)  Fill out the table above with relevant times and amount of water W(t) that ows from the pipe starting from t = 0, if initially no water had poured out, i.e., W(0) = 0. You do not need to ll up the whole table, and values of t could be decimals as well.

(b)  Use the above table and graph to describe the amount of water W(t) that ows from the pipe in your own words. Make sure to include appropriate units in your description.

(c)  Circle all that apply. The amount of water that ows from the pipe between t = 2 and t = 4 minutes can be represented by:

(a)   24 f (x)dx

(b) f (4) ^ f (2)

(c) W(4) ^ W(2)

(d)  (4 ^ 2)f (4)

(f)  none of the above

(d)  Circle all that apply. How is F(t) = (a) F(t) = W(t)

t

f (x)dx related to W(t)?

2

(b) F(t) = W(t) ^ W(2)

● Let the graph below y = v(t) be the velocity of a particle in m/s moving in a straight path on [0, 6]. Assume that the position of the particle at time t seconds is given by S (t).

2

t

1

6

^

^

(a)  Fill out the table above with the relevant times and positions of the particle. You do not need to fill up the whole table, and values of t could be decimals as well.

(b)  Use the above table and graph to describe the movement of the particle in your own words.

Make sure to include appropriate units in your description.

(c)  Find the total distance (not displacement) the particle moves from t = 0 to t = 6. Make sure to include appropriate units.

(d)  At what time was the particle furthest away from the starting point? Why?

t

(e)  Circle all that apply. How is F(t) = v(x)dx related to S (t)?

2

(a) F(t) = S (t)

(b) F(t) = S (t) +C for some constant C.

(c) F\ (t) = S \ (t) = v(t) for any t in [0, 6].

(d)  None of the above

4. Integrals [CORE]. I can use the antiderivative formulas, u-substitution, and other properties of integrals to compute both definite and indefinite integrals. I’m generally against memorizing formulas, but mem- orizing properties of integrals, and antiderivatives of common functions are as useful as knowing basic arithmetic, since they are widely used almost every class period in future math classes (most instructors in future math classes will not allow you to use a formula sheet either). The idea behind u-substitution, i.e., of translating your question from the x-world to the u-world so that it’s easier to solve there, and then translating the answer back to the x-world is a really common idea in mathematics that will be used in many other forms in your future math classes.

Criteria for Success: I can

● compute definite and indefinite integrals of common functions and combinations of them

● describe the meaning of definite and indefinite integrals

● perform u-substitution on both definite and indefinite integrals

● show a good understanding of all the various parts of the u-substitution process

Sample questions:

1    1

● Find the definite integral   0    2x ^ 4 sec2(x)dx, and describe what it means. Clearly state u and du if needed.

● Find the indefinite integral if needed.

^ 4 sec2(x)dx, and describe what it means. Clearly state u and du

● Find the following integrals, and describe how the answer is related to the integrand function. Clearly state u and du if needed.

(a)       4x sec2 (x2 )dx =

1    1

(b)     0    2x ^ 4 sec2(x)dx

● Circle all that apply and for each option explain why you chose to circle it or not. Clearly state u and du if needed. If f (x) is a continuously diferentiable function, then xf \ (2x2 )dx is

(a)

(b) x(2)

(d)  none of the above

● Circle all that apply and for each option explain why you chose to circle it or not. Clearly state u π/2

and du if needed. The integral           cos(x)esin(x)dx is equal to

0

(a) e ^ 1

(b) eπ/2  ^ 1

π/2

(d) eudu 0

1

(e) eudu

0

π/2

(f)            cos(x)eudu

0

1

(g)         cos(x)eudx

0

5. Integrals Challenge. I deeply understand the concepts behind Riemann sums, definite integrals, and their connection to antiderivatives and indefinite integrals through the Fundamental Theorem of Calcu- lus. It is crucial that we deeply understand the way antiderivatives, definite and indefinite integrals are related, as they’re the foundation of calculus. Learning the concepts behind these mathematical objects helps to be able to use them creatively, or generalize to other Calculi.  In fact, there’s infinitely many calculi that can be develop parallel to the one we’re studying in this class, with a huge variety of uses.

Criteria for Success: I can solve conceptual questions related to Riemann sums, definite integrals, and the Fundamental Theorem of Calculus that lie on the top half of Bloom’s Taxonomy (analyze, evaluate, and create) shown below.

For more information about Blooms Taxonomy, click here.

Sample questions:

● True or False.  As long as f (x) is defined on [a, b] for some a < b, then ab f (x)dx makes sense, and it’s a number.

● True or False.  Let f be continuous on the interval [a, b].  The limit of the Riemann Sum with n rectangles of equal base length 之x,

n

n(l)im^ f (ck)x

may lead to diferent limits if we choose ck to be the left-endpoints instead of the midpoints.

Let y = f (t) be the function graphed below on the interval [^2, 3].

Which of the following choices could be the corresponding graph of F(x) = your thought process.

x

f (t)dt? Explain ^2

x

● Let F(x) = t2 +sin(t)dt. Find the following.

^5

(b) F\ (x) =

(c) x) t2 sin(t)dt\ =

Circle all functions that are antiderivatives of f (x) = e^x2 , and explain why.

(a) e^x3

(b)

(c) f (x)dx

3

x

(d) e^t2 dx 3

x

(e) e^t2 dt

3

^x

3

(g)  none of the above

● True or False. Given any continuous function f (t) defined on the interval [a, b], by the Fundamental Theorem of Calculus we have that the following equality holds. Explain your answer.

b x

f (x)dx = f (t)dtC

a a

● Circle and Explain. Let f (x) and g(x) be continuous on [0, 1]. If deduce

(a) f (x) = g(x) for x in [0, 1]

(b) f (x)dx = g(x)dx for x in [0, 1]

(c)  (a) and (b)

(d)  none of the above

1

f (x)dx =

0

1

g(x)dx we can

0

6. Area [CORE]. I can use the divide and conquer strategy”1 to nd areas.  In geometry classes so far we have learned formulas for computing areas of shapes that have straight edges, or edges created from circles. In real life, most shapes don’t fall into these categories, but with the divide and conquer method of calculus, we can still express their areas as signed areas between a function and the x-axis (i.e., as definite integrals). If these functions happen to have nice antiderivatives, we can use the Fundamental Theorem of Calculus to nd exact answers, or otherwise use Riemann sums to get arbitrarily good ap- proximations.

Criteria for Success: I can

● use the divide and conquer method to slice a region vertically or horizontally, find the area of a general slice, and setup the corresponding Riemann sum and definite integral

● solve questions related to computing areas or average values of functions

Sample questions:

● Sketch and compute the area of the region on the rst quadrant enclosed by the graphs y = 1/x, y = x, and y = 1/2. Check out Desmos for help with visualizing: https://www.desmos.com/ calculator/gmdidaeuhy.

Area of slice:

Riemann Sum:

Sketch of slice:

Denite Integral:


● What is the area of the white eye in the middle of the following unit square given that one of the curved shapes has equation y = x2 , and the other is its reflection about the diagonal of the square?