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MTH3241 Past Exam 2

What is the probability that no customer enters the bank between the times s and t (s < t)?

 

What is the probability that m (m = 0, 1, 2, . . .) D customers enter the bank between the times s and t (s < t)?

 

A customer has just entered the bank.  What is the probability that a time longer than t elapses before the next customer enters the bank?

The time between arrivals to the bank is exponential with parameter λ . Therefore,

P(a time longer than t

e-λt .                                                                                                            2

A customer has just entered the bank.  What is the probability that a time longer than t elapses before the next D customer enters the bank?

 

What is the probability that exactly n customers arrive by time t given that exactly m (m s n) customers arrive to the bank by time s (s < t)?


(f) What is the probability that exactly m customers arrive by time s given that exactly n (n > m) customers arrive to the bank by time t (t > s)?

[12 marks]

The state of a computer network changes  according to  a 4-state discrete-time Markov chain with transition probability matrix

 

╱  0   (1 - p)q   (1 - p)(1 - q)   p

P =        

 0        1                  0             0            where 0 s p s 1, 0 < q < 1 and the states are labelled 1, 2, 3 and 4.

(a)  Obtain a full classification of the states in this Markov chain  (classes, re- currence, transience, periodicity), taking into account the possible values of p.


Assume that p = 0.  Obtain the steady-state probabilities of the recurrence class.


Assume that p = 0 and X0  = 2. What is the long-term expected fraction of time that the chain is in state 1?

[12 marks]


(a) Write down the transition probability matrix of this Markov chain.

 

(b) What is the probability that she loses all her money?

 

(c) What is the expected number of games she will play?

[10 marks]

A house has 2 rooms of similar sizes with identical air conditioners equipped with thermostats which turn on and off as needed to maintain the temperature in each

room to a desired level of 22o .  Suppose that a thermostat remains on or off for exponential amounts of time with means 1/µ and 1/λ, respectively, independently of other thermostats.

(a)  Consider the Markov process, {X(t), t > 0}, whose state space is the number of active air conditioners. Write down the matrix of the transition rates, the transition probability matrix of the corresponding embedded Markov chain, as well as the transition rates out of each of the states.


(b) Let pij (t) = P(X(t) = j|X(0) = i). Show that

µ                             λ                µ

2λ                           2µ              2λ

and deduce π0 , the steady-state probability associated with state 0.


Obtain all steady-state probabilities of this Markov chain.

[14 marks]


Find the probability of the population dying out by the second generation.

 

Find the probability of the population dying out on the second generation.

 

Obtain the probability of ultimate extinction of the population.

[10 marks]

(a)  Obtain P(X2  > 4) and P(X4  > 2).

 

(b) Find the probability that the particle visits 0 twice in 4 steps; i.e. find P(X2  = 0, X4  = 0).

 

(c) Find the probability that the particle visits 0 for the rst time after 4 steps.

[6 marks]

Let V1 , V2 , . . . be a sequence of independent and identically distributed random variables with

E[V1] = 1 and P(0 s V1  s K) = 1,

for some constant K . Dene Mn  as follows:

M0  = 1 and Mn  = Mn-1 Vn , for n > 1.

(a)  Show that Mn  is a martingale with respect to the ltration {Fn , n = 0, 1, . . .} generated by the sequence V1 , V2 , . . ..

 

Let σ 2  = var(V1 ). Show that Mn(2) - σ  Mk(2)-1  is a martingale with respect {Fn , n = 0, 1, . . .}.

 

(c) Assume that P(V1  = 0) = P(V1  = 2) = 1/2 and let T be the rst time Mn reaches 0. Explain why we cannot use Doob’s Optional Stopping Theorem in this context show that the assumptions are not met and that one would get a contradictory result.

[8 marks]