Problems

1. Let a, b, c e R and let Sa,b,c = {(x , y, z) : ax2 + by2 + cz2 = 0, x2 + y2 + z2 = 1}.

(1a) For which values a, b, c is Sa,b,c  a regular surface of dimension 2?

(1b) For which values a, b, c is Sa,b,c  a regular curve?

(1c) For which values a, b, c is Sa,b,c  discrete?  (A set S C Rn  is discrete if for each x e S, there exists e > 0 such that Be (x) n S = {x}.)

(1d) For which values a, b, c is Sa,b,c  empty?

2. For a fixed A e R, define the curve CA in R2 by the equation

y2 - 2xy = x4 +Ax + 4.

You can view this family of curves on Desmos. Note this demo will not help you justify your answers below.

(2a) Prove that if A  -6 and A  6, then CA  is a regular curve.  You may use WolframAlpha to solve a 1-variable quartic equation.

(2b) This family of curves can instead be viewed as the z-slices of the surface S in R3 defined by the equation

y2 - 2xy = x4 + xz + 4

Use the implicit function theorem to show that this equation defines a 2-dimensional regular surface

(2c) The curves C6  and C-6  are regular at each point except (-1, -1) and (1, 1) respectively. These points where C6  and C-6  fail to be regular are called singularities. View this surface and family of curves on Math3d. (Google Chrome is the most stable browser for Math3D.) Informally explain how the shape of the surface appears to relate to the singularities of C6 and C-6 . Your explanation must discuss both the surface and the curves.

3. Let U, V c Rn be open.

(3a)  Suppose U\  c U is open and a e U\ . Let g : U → V . Use the e - 6 definition of the limit to prove that  exists if and only if  exists. Furthermore, prove that  =  if either exist.

(3b) Let g : U → V . Use part (a) to prove that g is a diffeomorphism if and only if g is bijective and a local diffeomorphism at each point in U .

(3c)  Conclude using part (b) that if g : U → V is a C 1 bijection such that Dg(u) is invertible for all u e U, then g is a diffeomorphism.

4. Find the maximum value for f (x , y, z) = x3 - 2xy + y2 + 2z on S = {(x , y, z) e R3  : 0 < z < 1 - x2 - y2 }. You must fully justify your solution. You may not use WolframAlpha to solve any systems of equations that arise in your solution.

5. A common use for Lagrange multipliers is to maximize profit subject to a budget constraint.  How can a company make the most money with what they currently have to spend?  In that context, the multiplier 入 has a very concrete interpretation: 入 is the marginal maximum profit with respect to the constraint. More precisely, if M is the maximum profit obtained with budget $c and 入 is the corresponding multiplier from the Lagrange multiplier system, the  = 入. We will investigate this surprising fact.

Let f , g : Rn → R be C 1 . Suppose f  attains a unique maximum on Sc  = {x e Rn  : g(x) = c} for each c e R. Define M (c) = max{f (x) e R : x e Rn , g(x) = c}. Let x* (c) be the location of the maximum in Sc  and let 入* (c) be the multiplier in the Lagrange system corresponding to x* (c). You may assume x*  and 入*  are C 1 functions in c .

(5a) The Lagrangian function corresponding to this situation is L(x , 入, c) = f (x) - 入(g(x) - c). Write M(c) as a composition of functions using L . No justification is required.

(5b) Prove that for a fixed C e R, (x* (C ), 入* (C )) is a critical point of L(x , 入, C ).