1    Question #1

Purpose: The purpose of this question is to provide a review question of the intertemporal choice under certainty. You should review your class notes from the first section of Chapter 4 and then try this question. Make sure that you can perform the calculations and also interpret the optimal trade-o↵ conditions of the individual’s problem.

Consider the two period consumption savings problem faced by an individual whose utility is defined on period consumption. This utility function u(c) has the properties that it is strictly increasing and concave, u0 (c) >  0, u00 (c) <  0 (where u0 (c) denotes the first derivative while u00 (c) represents the second derivative) and satisfies the Inada condition limc!0 u0 (c) = 1 (slope of the utility function becomes vertical as consumption approaches zero). The individual’s lifetime utility is give by u(c1 )+ βu(c2 ).

In the first period of life, the individual has y1  units of income that can be either consumed or saved. In order to save, the individual must purchase bonds at a price of q units of the consumption good per bond. Each of these bonds returns a single unit of the consumption good in period 2. Total savings through bond purchases is s1  so that total expenditures on purchasing bonds is qs1 . Let c1  denote the amount of consumption in period 1 chosen by the individual. In the second period of life, consumption in the amount c2  is financed out of the returns from savings and period 2 income, y2 .

The problem of the individual is to maximize lifetime utility while respecting the budget constraints of periods 1 and 2 by choice of (c1 ,c2 ,s1 ). Formally, the individual solves the problem

max {u(c1 )+ βu(c2 )}

c1 ,c2 ,s1

subject to the first period budget constraint,

qs1 + c1  = y1

along with the second period budget constraint,

c2  = y2 + s1 .

Answer the following:

1. Use the Method of Lagrange to solve this problem. To do so, construct the La- grangean function for this problem. Use λ 1  as the Lagrange multiplier attached to the period 1 budget constraint and λ2  as the Lagrange multiplier attached to the period 2 budget constraint.

2.  Take the partial derivatives of the Lagrangean function with respect to each of its arguments  c1 ,  c2 ,  s1 ,  λ 1  and  λ2  and set each of these partial derivatives equal to zero in order to find the critical point(s) that will assumed to be the maximum of the Lagrangean function .

3.  Using the first-order conditions of this problem with respect to c1 , c2  and s1 ,  (i .e . the  partial  derivatives  that  have  been  set  equal  to  zero)  construct  the  optimal intertemporal consumption trade-o↵ condition between c1  and c2 .  This trade-o↵ is executed by variation in savings .

4.  Interpret this trade-o↵ condition in words .

5.  Merge the two budget constraints into a single lifetime budget constraint by elimi- nating savings from the system of two constraints .

6.  Using a diagram, draw the outcome of optimal choice using an indi↵erence curve and the individual’s lifetime budget constraint .

7.  Now assume that the utility function takes the function form u(c) = ln(c) .  Note that the derivative of the natural logarthm is u0 (c) =  .

8.  Using this functional form in the intertemporal trade-o↵ condition that you previ- ously derived, do some algebra to obtain an equation that specifies how much the individual would save as a function of q , β , y1  and y2 .

9.  How does savings change with changes in y1 ?  Provide some intuition behind this result .

10.  How does savings change with changes in y2 ?  Provide some intuition behind this result .

11.  How  does savings  change with  changes  in  q?   Provide some  intuition behind this result .

2    Question #2

Purpose:  This problem is designed to show how financial instruments can be used on the production side of the economy to mitigate payo↵ risk .  The problem might seem difficult as you have not solved many such problems before but most of the challenge is in setting up the problem .  Once the optimization problem is set-up, simply apply the Method of Lagrange, construct the optimal trade-o↵ conditions and interpret .

Consider the problem of a firm .  The firm produces output using a single input .  Let the firm’s production function be given by y = f(n) .  The firm receives revenues of py y from selling its y units of output .  For simplicity, assume the price of the firm’s output is

py  = 1 .  Let the firm’s production function be strictly increasing and concave in n so that f0 (n)  > 0 and  f00 (n)  < 0 .  Also,  assume that as the number of inputs used approaches zero, the marginal product of the input goes to infinity, limn!0 f0 (n) = 1.

The firm has a well-established relationship with a supplier of the production input who sells the input to the firm at a price of ps  per unit .  However, the firm must pay for these inputs in advance .  The supplier is expected to be able to provide all the purchased inputs with probability ⇡  while there is  a probability  1 − ⇡  that the supplier can only provide a fraction φ of the purchased amount of inputs .  The production firm chooses how much of the input to purchase from this supplier, ns , knowing that there is a probability 1 − ⇡ that only φns  is delivered and a probability ⇡ that full delivery of the ns  purchased units will arrive .

The production firm can also purchase a forward contract for delivery of production inputs from an intermediary.  The intermediary will supply inputs in the case that the supplier cannot fully deliver the purchased inputs at a price pI  > ps per unit .  This allows the production firm to contract for delivery of nI  units of the production input only in the state-of-nature in which the usual supplier is unable to fully deliver the ns  purchased units of inputs .  If the firm chooses to purchase nI  units of inputs from the intermediary it is required to pay pI nI  in costs at the time of delivery.  However, not only is the unit price  of inputs  purchased  from  the  intermediary  higher  than  that  of the  supplier,  but there is an addition unit cost of q that must be paid in advance - call this a contracting cost .

The  firm  has  no  resources  prior  to  selling  any  output  so  that  any  upfront  costs  it incurs  from  contracting  for  nI   inputs  from  the  intermediary  and  ns  from  its  supplier must  be  financed  by  borrowing  b  units  of resources  from  a  lender .   This  loan  must  be sufficient to pay for the cost of contracted inputs .  The lender charges an interest rate r on the amount of money borrowed by the firm so that total repayments to the lender is in the amount  (1 + r)b .1

The timing is as follows:

1.  The firm chooses how many units of the production input, ns , to purchase upfront from  its  supplier  and  how  many  units  nI  it  wishes  to  contract  for  delivery  from the intermediary that will  arrive only in the event that the supplier  cannot fully deliver the ns  units of inputs .  The firm borrows from the bank to pay for the cost pns + qnI .

2.  Nature  reveals  whether  the  supplier  fully  delivers  ns .    If  so,  production  occurs, output is sold and the bank is repaid principal and interest,  (1 + r)b .  Otherwise, the supplier delivers φns units of inputs, the intermediary delivers nI units of inputs, production occurs, the firm pays the intermediary pI nI  for delivery of the nI  inputs and the bank is repaid principal and interest,  (1 + r)b