Show your answers correct to 3 decimal places.

Solution:

(a)  The relation should be PV{four payment of  PV{ one payment X paid at t + 1}.

[2+2+2=6 marks]

paid at t, t + 0.25, t + 0.5 and t + 0.75}=

(b)  From i = 0.06, we have d(4)  = 0.05785. The accumulated value is

i  

(c) Various methods can be applied here.  The easier one is let the quarterly effective interest rate is j = 0.01467, and use quarterly time unit. We have 4j  =  =  = 3.9141 and

(1 + j)12  × PV    =    (1 + j)12  × 4  × ┌ 50 + 30(1 + j)-4 + 80(1 + j)-8]

=   696.93348

4.  Consider a series of 40 payments at yearly intervals.  The first payment, due in 1.5 years, is $80. The subsequent payments are $1 more than the previous payment but subject to a maximum of $100.  After reaching $100, the subsequent payments are $2 less than the previous payment that gives the 40th payment being $62. Calculate the present value of this series of payments using an effective rate of interest of 6% per annum.

[8 marks]

Solution: The cash flow will be

80, 81, ..., 99, 100, 98 = 100 _ 2, 96 = 100 _ 2 × 2, ..., 62 = 100 _ 19 × 2.

By using i = 0.06, we have v = 0.9434, d = 0.056604, a19  = 11.158 and

19  = 11.828,    (Ia)19  =

20  = 12.158,    (Ia)20  = 21  = 12.4699.

= 92.464,

= 98.7003,

Then the present value is

PV  = v 1 .5 {8021  + (Ia)20  + v20  × ┌ 100a19  _ 2(Ia)19 ]}

= v 1 .5  × 1386.548

= 1270.504

5.  A bank offers its customers varying deposit rates according to their balances at the start of each year. The effective interest rate is 3% per annum for balances of $5,000 or less, and 4% for balances above $5,000. The annual interest is credited at the end of each year and included in the balance to determine the interest rate applied in the following year.

(a)  A customer wants to accumulate $5,500 in 5 years time. How much does he need to deposit today?

(b)  A customer wants to accumulate $6,500 in 5 years time. How much does he need to deposit today?

Show your answers correct to the nearest cent.

[4+3=7 marks]

Solution: Suppose the deposit is C, the first year to achieve $5000 is n, then we have

(a)  The two conditions should be satisfied

We get n > 5 _  = 5 _  = 5 _ 2.43 = 2.57, hence n = 3. Then C(1.03)3 (1.04)2  = 5500 = C = 4653.5

(b)  Due to 6500(1.04)-5   = 5342.5 already exceeds 5000, so we should always follow 4% rate during the five years, and the amount needs to be deposited today is 5342.

6.  A loan is repayable over 20 years by level instalments of $1,000 per annum made annually in arrear. Interest is charged at the rate of 5% per annum effective for the first 10 years, increasing to 7% per annum effective for the remaining term.

(a)  Calculate the amount of the original loan, rounded to the nearest cent.

(b)  At the beginning of year 11, it is agreed that the increase in the rate of interest will not take place, so that the rate remains at 5% per annum effective for the remainder of the loan. The annual instalment will continue to be payable at the same level so that there may be a reduced term and a reduced final instalment. Calculate

i. by how many years, if any, the time to repayment is shortened.

ii. the amount of the reduced final instalment correct to the nearest cent.

[2+(2+2)=6 marks]

Solution:

(a)  The initial loan is

L0      =    1000a100 .05 + 1000(1.05)- 10 a100 .07

=    1000  + 1000(1.05)- 10

=    12033.6

(b)     i.

L0      =    12033.60472 = 1000an0 .05  = 1000

That is, the new term is 19 years, hence the repayment schedule is shortened by one year.

ii. We have XF  = L0 (1.05)19 _ 1000 180 .05  = 12033.60472(1.05.19 ) _ 1000  = 869.32.

7.  A homebuyer borrows $300,000 from a bank repayable by monthly instalments in arrear of principal and interest over 25 years with interest calculated at 6.6% per annum convertible monthly.

(a)  Calculate the monthly repayment when the loan is originated.

(b)  Five years later, the rate of interest is increased to 7.2% per annum convertible monthly, and the monthly repayment is adjusted to $2,200.  Assuming there is no further changes in interest rate, determine

i. whether the loan could be discharged within or after the original agreed period; and

ii. the interest paid in the 8th year from the beginning of the contract.

Show your answers correct to the nearest cent.

[2+(3+3)=8 marks]

Solution:

(a)  Use months as time units, we have monthly effective rate is 0 .066/12 = 0.0055, the discount factor vj  = 0.99453, and a300  = 146.7418.  Then the monthly repayment is X = L0 /a300  =

2044.407.

(b)     i.  According to the first five years, we have a240j 1    = 133.0712 and s60j 1    = 70.85655.  By

using the prospective method,

L60  = X × a240  = 272053.7

The monthly effective rate is j2  = 0.072/12 = 0.006, the discount factor v2  = 0.994035 and a240j 2   = 127.0084, so the monthly repayment needed is L60 /a240j 2   = 2142.03 < 2200, so the loan will be discharged early.

ii.  According to j2 , we have

7 × 12 = 84,           L84  = L60 (1 + j2 )24 _ 2200s24j 2   = 257446.6

8 × 12 = 96,           L96  = L60 (1 + j2 )36 _ 2200s36j 2   = 249318    10 × 12 = 120,           L120  = L60 (1 + j2 )60 _ 2200s60j 2   = 231200.9

Then the total payments in 8th year is 2200 × 12 = 26400.  The capital repayment is L84 _ L96  = 8128.611, hence the interest paid in 8th year is 26400 _ 8128.611 = 18217.39

8.  On 10 April 2016, an insurance company purchased a bond issued by the state government of Victoria, with a face value of $100,000, paying half-yearly interest at an annual rate of 8% and maturing at par on 31 December 2021. Interest is payable on 30 June and 31 December each year.

(a)  Calculate the price of the bond the company paid on 10 April 2016, assuming a gross re- demption yield of 6% per annum convertible half yearly, rounded to the nearest $1.

(b)  Assuming that the company is subject to tax at 30% on income and capital gains, with a corresponding deduction for capital losses, find the equation (no need to solve) to determine the net redemption yield i per annum at the purchase price calculated under part (a).

[3+2=5 marks]

Solution:

(a)  The market price on 10 April 2016 is

P    =   v  ╱ 100000 × 0.04120 .03 + 100000v11 、

=    (1.03)-  2  ╱4000  × 1.03 + 100000(1.03)- 11 、

=    (1.03)- 182  (41010.49645 + 72242.12766)

=    111772.5099

(b)  Let i to be the net redemption yield per annum convertible half yearly.  There will be tax deduction on redemption of 0.3 × (P _ 100000) = 3531.75. Then the equation of value is,

EQV (i)   =    _P + (1 + )-   ┌4000 × 0.7 × 2i(2)) + ╱ 100000 + 3531.75、(1 + )- 11]      =    _111773 + (1 + )-   ┌ 5600  (1 + ) + 103531.75(1 + )- 11]

9. You are provided with the following par yields, convertible half-yearly, currently applying in the fixed-coupon government bond market:

Calculate the forward rate applicable to a six-month period commencing in 12 months’ time. Show your answer to the nearest 0.1% per annum convertible half-yearly.

[7 marks]

Solution: The calculation is included in the following table.

Hence the answer is 8.11%.

10.  An investor has decided to purchase a milk bar for $200,000 today, with a further payment of $20,000 for repairs in half year’s time, and another payment of $K for renovation in two years’ time.  The rental income will be $8,000 per month commencing in two years’ time.  Using today as the valuation date, the investor aims to keep the discounted payback period no more than 5 years.

(a)  Explain that the larger value of K, the longer discounted payback period.

(b)  Calculate the maximum renovation cost of K with an effective rate of interest of 5% per annum such that the investor’s goal can be achieved.

[1+2=3 marks]

Solution: Let the monthly effective rate be j = 1.05  _ 1 = 0.004074, and let the rental income receiving period be n months, then we have

EQV (n) = _200000 _ 20000(1.05)-0 .5 _ K(1.05)-2 + 8000(1.05)-2 nj .

It is clear that as K increases,  anj   =    increases, which corresponds to n increases.   Let n = (5 _ 2) × 12 = 36 and EQV (36) = 0, we have 36j  = 33.55743 and K = 26440.88.

11.  A company has to pay an annuity of $100,000 a year for five years, and then $50,000 for another five years. The first payment is due in one year. Interest rates are constant 2.4% per annum. The company decides to immunise their liabilities. The company proposes to match the duration and present value of these cash flows by holding zero-coupon bonds maturing in three and ten years’ time respectively. Calculate the nominal amounts of these bonds to achieve this.

[4 marks]

Solution:

The duration of the liabilities is 4.49019. The present value is 672834.74. The current price for the zero coupon bond with expiry 3 years and 10 years are v3  =0.93132257 and v 10  =0.78886091. Let N1 and N2 be the nominal face value of the bonds. Then we solve 0 .93132257N1 +0.78886091N2  = 672834.7367 and 3 × 0.93132257 × N1 + 10 × 0.78886091 × N2  = 4.49019 × 672834.74.  Then we have N1  = 568652.53 and N2  = 181572.95.

12.  Let δ be the force of interest. Consider the equation of value:       EQV (δ) = _700 + 90a) _ 50v10 .

(a) Does this equation have a unique solution δ in (0, +o)?

(b) Solve this equation for the force of interest δ by bisection method with an accuracy of 土0.002. Start your computation from the range of [0.04, 0.05].

[1+3=4 marks] Solution:  (a) The accumulated value without interest changes sign once and only once, so there is an unique solution for i > 0, equivalently, δ > 0.