Question  1.   (5 points)    Solow model in discrete time.  Consider an economy with technological progress but without population growth that is on its balanced growth path. Now suppose there is a one-time jump in the number of workers.

(a) At the time of the jump, does output per unit of effective labor rise, fall, or stay the same? Why?

(b) After the initial change (if any) in output per unit of effective labor when the new workers appear, is there any further change in output per unit of effective labor? If so, does it rise or fall? Why?

(c)  Once the economy has again reached a balanced growth path, is output per unit of effective labor higher, lower, or the same as it was before the new workers appeared? Why?

Solution:

(a) At some time, call it t0 , there is a discrete upward jump in the number of             workers. This reduces the amount of capital per unit of effective labor from k*     to kNEW . We can see this by simply looking at the definition, k = K/AL. An    increase in L without a jump in K or A causes k to fall. Since,f\ (k) > 0,this fall in the amount of capital per unit of effective labor reduces the amount of output per unit of effective labor as well. In the figure below, y falls from y to yNEW .

(b) Now at this lower kNEW ,  actual investment per unit of effective labor exceeds break-even investment per unit of effective labor

sf (kNEW ) > (g + δ)kNEW .

The economy is now saving and investing more than enough to offset depreciation and technological progress at this lower kNEW . Thus k begins rising back toward k* . As a result, output per unit of effective labor begins rising from yNEW  back to y* .

(c)  Capital per unit of effective labor will continue to rise until it eventually returns to the original level k* . At k* , investment per unit of effective labor is just enough to offset technological progress and depreciation. Output per unit of effective labor will also eventually return to the original level y*  = f (k* ).

Question  2.     (5  points)     Dynamic  Programming.   Consider the problem of consumption and saving out of initial wealth. The goal is to maximize

&

βtu (ct )

t=0

subject to

wt+1  = R (wt - ct )

where wt  is wealth, R is the gross interest rate, and w0  is given.

(a) Write the Bellman equation for this problem in terms of current and future states w and w\ .

(b) Using the Bellman equation, write the first order condition,.the envelope condition and derive the Euler equation for this problem. How can you interpret the Euler equation?

(c)  Suppose that instantaneous utility is isoelastic

c1一σ  - 1

u (c) =    1 - σ   , σ > 0

What is the optimal consumption growth rate γc  =  - 1?

Solution:

(a)  Current consumption in terms of current and future states w and w\ , is c = w - w\ /R

Non-negativity of wealth and consumption

c = w - w\ /R > 0

determines the feasible set A(w) for w\  given w

A(w) =,w\  e R+  : w\  < Rw、

The Bellman equation is therefore

V (w) =   max  {u (w - w\ /R) + βV (w\ )} .

w\ ∈A(w)

(b) The first order condition associated with the Bellman equation is

u\ (w - w\ /R) ╱ - 、 + βV\ (w\ ) = 0.                              (1)

Suppose that w\  = g(w) be the policy function that solves the Bellman equation

V (w) = u (w - g(w)/R) + βV (g(w)) ,

then, differentiating both sides w.r.t. w yields

V\ (w) =u\ (w - g(w)/R) (1 - g\ (w)/R) + βV\ (g(w)) g\ (w)

=u\ (w - w\ /R) - g\ (w) ┌u\ (w - w\ /R))  - βV\ (w\ )┐

=u\ (w - w\ /R)

where the last equality follows directly from the f.o.c.  (1).  We can rewrite the equality V\ (w) = u\ (w - w\ /R) for the next period as

V\ (w\ ) = u\ (w\ - w\\ /R)

and substituting it into the f.o.c. (1) gives

u\ (w - w\ /R) ╱ 、 = βu\ (w\ - w\\ /R)

which in sequence form reads

u (w\t - wt+1/R) = βu (w\t+1 - wt+2/R) R

which is the Euler Equation

u\ (ct ) = βu\ (ct+1) R.

(c) Because u\ (c) = c一σ , the Euler equation is

ct(一)σ  = βRc ,

and therefore the optimal consumption growth rate is

γc  =  - 1 = (βR)1/σ  - 1.

Question  3.    (5 points)    Ramsey-Cass-Koopmans model in discrete time.

Suppose the planner seeks to maximize the intertemporal utility function

t βt log ╱ 、L

Ct + Kt+1  = AKt(α)L1一α , +(1 - δ)Kt ,     0 < δ < 1

given initial K0  > 0.  Suppose that the labor force and the level of productivity A are constant. Let ct , kt , yt  etc. denote consumption, capital, output etc in per worker units.

(a) Rewrite the problem in per worker terms. Derive optimality conditions that char- acterize the solution to the planner’s problem. Give intuition for those optimality conditions.

(b) What is the steady state savings rate in this economy?

(c)  Suppose the economy is initially in the steady state.  Suppose that a new set of regulations makes the economy less productive decreasing TFP from A to A\  < A. Use a phase diagram to explain (i) how this change affects the long-run values of consumption, and capital and (ii) how the economy transitions to these new long-run values.

Solution:

(a) The planner’s problem is to maximize intertemporal utility (per worker)

&

βt log (ct )

t=0

subject to the sequence of resource constraints

ct + kt+1  = Akt(α) + (1 - δ)kt ,

given the initial condition k0  > 0. The Lagrangian reads

&                                 &

c =       βt log (ct ) -      λt [ct + kt+1 - Akt(α) - (1 - δ)kt]

t=0                                t=0

The first order conditions are

βt  ╱ 、 = λt ,

λt  = λt+1  [αAk1 + 1 - δ ┐ .

Optimal allocations must also satisfy the resource constraint (2) and the transver- sality condition

lim βT u\ (cT ) kT+1  = 0.

T →&

Eliminating the multipliers λt  gives the consumption Euler equation

 = β  [αAk1 + 1 - δ ┐

To interpret this condition, let Rt+1  = αAk1 + 1 - δ denote the gross return on capital. Then consumption is increasing,  > 1 if and only if

1 < βRt+1

In short, consumption in t + 1 will be high relative to consumption in t when the return on capital is high relative to time discounting.  When the return on capital is relatively high, it makes sense to defer consumption today and invest in physical capital to secure more consumption tomorrow so that ct+1  > ct .

(b) Let the savings rate be st  = St /Yt  = It /Yt . In the steady state,

k*                 k*                   (k* )1一α

s*  = δ y*  = δ A (k* )α  = δ     A     .

The steady-state capital per worker follows from the consumption Euler equation in the steady state:

1 = β[αA (k* )α 一1 + 1 - δ],

1

k*  = ╱ 、1 奴←  .

Hence,

(k* )1一α           αδ  

A          ρ + δ

(c) In the modified case, the locus for ∆c = 0 shifts to the left. The locus for ∆k = 0 is where

c(k) = Akα - δk

holds.  When A is lower, this locus rotates downward.  The phase diagrams are drawn below.

Δc=0

k

The stable arm of the modified steady state could pass either above or below the baseline steady state. Income effect and intertemporal substitution effect are pushing c0 in opposite directions. The fall in A implies that household is poorer, so consumption should tend to decrease at all points in time, including t = 0.  The fall in A makes consumption in the future more expensive relative to consumption today (because the production technology is worse),  so consumption today  (at  t  =  0) should tend to increase.

I will assume that the income effect dominates, so that the appropriate stable arm for the modified case is the solid one in the figure above. The time path of k will exhibit a gradual decline toward the new steady state with lower capital per worker. After an

initial fall, thetime path of c will also exhibit a gradual decline toward the new steady state with lower consumption per worker.

Question 4.  (5 points)    Solow model in continuous time. Consider the Solow model in continuous time with production function y  = f (k) = k α   , constant savings rate s, depreciation rate δ, productivity growth g and employment growth n.

(a) Define the capital-to-output ratio x(t) =  . Show that the growth rate of capital- to-output ratio is proportional to the growth rate of capital per worker.  Show that the evolution of x(t) can be described by a linear differential equation of the form

x˙ (t) = λx(t) + b,    x(0)  given

where λ = - (1 - α) (δ + g + n) and b = (1 - α) s.

(b) Derive an exact solution for the time path x(t) of capital-to-output ratio.

(c) Derive an exact solution for the time path k(t) of capital per effective worker.

Solution:

(a)  Capital-to-output ratio is given by

xt  =  = kt(1) 一α

and taking logs and time derivatives

x˙t                            k˙t

xt                           kt

shows that the growth rate of capital-to-output ratio is proportional to the         growth rate of capital per worker. In intensive form, the Solow model implies an autonomous nonlinear differential equation in kt

k˙t  = skt(α) - (δ + g + n)kt

and therefore

k˙t

Substituting the expression for xt  and its growth rate yields

 = (1 - α) ╱  - (δ + g + n)、

or simply

x˙ (t) = λx(t) + b,

where λ = - (1 - α) (δ + g + n) and b = (1 - α) s.