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ECON 711 Macroeconomic Theory and Policy

Problem Set 3

Module 2-2: The Neoclassical Growth Model in Continuous Time

Suggested Solutions

1. Ramsey- Cass-Koopmans model. Suppose the planner seeks to maximize

\0 o e(pn)tu(ct)dt

subject to resource constraint

k˙t = f (kt) _ (δ + n) kt _ ct,     k0   given

and feasible consumption c > 0.  Consider the optimal growth problem with isoelastic utility

function

c1 一口  _ 1

u(c) =    1 _ σ   ,      σ > 0

and the Cobb-Douglas production function F (K, L) = AKa L1a  , where α e (0, 1). Suppose for simplicity that the level of productivity A  >  0 is constant.   Let ct, kt, yt  etc.   denote consumption, capital, output etc in per worker units. Assume n > 0, δ > 0 .

(a) Write down the complete optimal growth problem. Solve this problem using the Hamil- tonian method and derive two diﬀerential equations in the variables (c, k).

Solution:

The planners problem is to maximize

\0 o e(pn)tu(ct)dt

subject to resource constraint

k˙t = f (kt) _ (n + δ) kt _ ct,     k0   given

and feasible consumption c > 0. The Hamiltonian for this problem

H (ct, kt, λt) = u(ct) + λt(f (kt) _ (n + δ) kt _ ct)

The optimality conditions, for all t > 0,  H (ct, kt, λt) = λt ╱f\ (kt) _ (n + δ)= (ρ _ n) λt _ λ˙ t H (ct, kt, λt) = f (kt) _ (n + δ) kt _ ct = k˙t

The system of optimality conditions can be re-written as

u\ (ct) = λt

λ˙ t = λρ + δ _ f\ (kt)

k˙t = f (kt) _ (n + δ) kt _ ct .

Dierentiating the rst order condition (1) with respect to t gives

u\\ (ct)c˙ t = λ˙ t .

Conditions (1) and (2) can be combined to eliminate λt ,

u\\ (ct)c˙ t = u\ (ct) ╱ρ + δ _ f\ (kt),

giving the continuous time consumption Euler equation = _              f\ (kt) _ (ρ + δ)、.

Consider the given functional forms for utility and production functions. The utility func- tion is isoelastic, a.k.a. constant relative risk aversion (CRRA) utility function c1一口 _ 1

1 _ σ

,     σ > 0.

Therefore, u\ (c) = c一口 , u\\ (c) = _σc一口 1  and hence Arrow-Pratt coeﬃcient of relative risk

aversion is _ = σ . Rewriting Cobb-Douglas production function in intensive form yields

y = f(k) = F (K, L) = AK L(a L)1a  = A  1a = Aka .

Substituting the functional forms into (3) and (4) gives the system in (ct, kt) : = αAkt(a) 1 _ δ _ ρ,

k˙t = Akt(a) _ (n + δ) kt _ ct .

(b) Assume for now that labor force remains constant, n  = 0.   Our baseline economy transitions from an initial level of capital k0  which is below the steady state level k* .  Now, consider a modiﬁed economy which is identical to the original economy except for the initial level of capital which is set to k0 /2. Draw the time paths of k and c for both the baseline and the modiﬁed economies. How do they compare? Use a phase diagram motivate your answer.

Solution:

In both cases, the economy will converge to the same steady state (k* , c* ). They will follow the same stable arm of the saddle point, but from diﬀerent starting locations.

c

c = 0

c* k= 0

k k0    k*

As the phase diagram indicates, in the baseline case (with higher initial capital) the initial level of consumption will be higher. The time paths must therefore look like

 ln(k) ln(k*)  modified 0 t ln(c) ln(c*)  modified       0 t

Both the amounts of consumption and capital are always higher in the baseline case, but in the long run the modiﬁed case “catches up” as both economies converge to the same steady state.

(c) Assume n > 0, 6 > 0 .  Consider an economy at the balanced growth path.  At time 0, it experiences a sudden increase in productivity A/  > A.  Draw the time paths of k and c following this event. Proceed using the following steps:

(i)               draw the phase diagram for the baseline case, and suppose that k0  is equal to k* for this case;

(ii)             draw the modiﬁed phase diagram, indicating what has changed with the higher value of A;

(iii)            set k0 is equal to baseline k* and draw the modiﬁed time paths of k and c, indicating how they compare with the baseline time paths.

What eﬀect does the increase in A have?  Pay special attention to the value of consumption at t = 0; is it higher or lower in the modiﬁed case? Why? Give an intuitive answer.

Solution:

In the modiﬁed case, the locus for c˙ = 0 shifts to the right. The locus for k˙ = 0 is where c(k) = Aka _ (n + 6) k,

holds. When A is higher, this locus rotates upward. The phase diagrams are drawn below.

c

c = 0 c* k= 0

From this diagram we can see that the stable arm of the modiﬁed steady state could pass either above or below the baseline steady state.  There must be two eﬀects that are pushing c0  in opposite directions.

Intertemporal Substitution Eect:  The increase in A makes consumption in the future less expensive relative to consumption today (because the production technology is bet- ter), so consumption today (at t = 0) should tend to decrease. This corresponds to the rightward shift in the locus for c˙ = 0

Income Eect:  The increase in A implies that household is richer, so consumption should tend to increase at all points in time, including t = 0.  This corresponds to the upward rotation of the locus for k˙ = 0.  Whether c5  for the modiﬁed case is larger or smaller than baseline c*  depends on which of these two eﬀects dominates.

I will assume that the substitution eﬀect dominates, so that the appropriate stable arm for the modiﬁed case is the solid one in the gure above. The time paths of k and c are then:

 ln(k) 0 t ln(c)         ln(c**) modified ln(c *) ln(cs)   0 t