Hello, dear friend, you can consult us at any time if you have any questions, add WeChat: daixieit

ECON 711 Macroeconomic Theory and Policy

Problem Set 1

Module 1: The Solow Growth Model

Suggested Solutions

1.  Solow model.  Consider a standard Solow-Swan model in continuous time with Cobb-

Douglas production function y = kα, constant savings rate s, depreciation rate δ, productivity growth g and employment growth n.

(a) Derive expressions for the steady state values k* , y* , c* in terms of the model parameters s, δ, g, n and α .

(b) Use a diagram to explain how an increase in s aﬀects k* , y* , c*  . Does this change in s increase or decrease long run output and consumption per worker? Explain.

(c) Use a diagram to explain how an increase in α aﬀects k* , y* , c* . Does this change in α increase or decrease long run output and consumption per worker? Explain.

(a) Steady state capital k*  solves

sf )k* ) = )δ ＋g ＋n)k*

Hence with y = f )k) = kα  we have the solution (ignoring the trivial k* = 0 case)

1

k* = 1 α

and therefore                                                                        α

y* = 1 α c* = )1 一 s) 1 α

(b) An increase in s unambiguously increases k*  and hence increases y* .   Whether an increase in s increases c*  depends on where the level of s is relative to the golden rule’ level (which with this Cobb-Douglas production function, is equal to α). If s < α then a marginal increase in s increases c*  but if s > α then a marginal increase in s decreases c* .

(c) An increase in α increases k*  only if the capital/output ratio = is greater than 1.

● If > 1 then a higher α increases k*  and hence increases y*  and c* . In this situation, the parameters are conducive to capital accumulation (the savings rate is high relative to eﬀective depreciation), so less curvature in the production function () higher) makes for a larger steady state level of capital per eﬀective worker.

● If < 1 then a higher α decreases k*  and hence decreases y*  and c* . In this situation, the parameters are not conducive to capital accumulation (the savings rate is low relative to eﬀective depreciation), so less curvature in the production function makes for a lower steady state level of capital per eﬀective worker.

2.  Linear production function.  Suppose the production function is linear y = k and for simplicity suppose no productivity or employment growth, g = n = 0.  Does the Solow-Swan model have a steady state capital stock in this setting? Why or why not? Explain the dynamics of kt  in this economy.  How do these dynamics depend on the values of s and δ?  Explain. What standard assumptions about the production function does this example violate?

With y = f)k) = k, capital accumulation is given by

kat = sf )kt) 一 )δ ＋g ＋n)kt = )s  δ)kt

(since g = n = 0). Steady states k*  are given by points such that kat = 0. In this case there is generally no steady state except the trivial one at k* = 0. In the knife-edge’ case where s  δ , any k is a steady state.  More generally, for s δ, either (i) the savings rate is greater than depreciation so that

kat = )s  δ)kt  > 0

for all t and the capital stock grows without bound,  or  (ii) the savings rate is less than depreciation so that

kat = )s  δ)kt  < 0

for all t and the capital stock shrinks towards 0.

This linear production y = f)k) = k function has positive marginal product, f\ )k) = 1, but does not exhibit diminishing returns f\\ )k) = 0. Moreover, since f\ )k) = 1, for all k, this linear

production function does not satisfy the usual Inada conditions [f\ )0) = o and f\ )o) = 0]. In particular, the failure of the rst Inada condition f\ )0) = o exposes the economy to kt → 0 when s < 6 while the failure of the second Inada condition f\ )o) = 0 allows the economy to experience unbounded growth kt → o when s > 6 . In this latter case, the basic conclusion of the Solow model i.e., that capital accumulation alone cannot sustain long run growth is overturned.

3.  Inada conditions.  Consider a production function in intensive form y = f )k) .  Brieﬂy explain the role played by the Inada conditions f\ )0) = o and f\ )o) = 0 in analyzing the Solow-Swan model.   In particular,  suppose  f\ )k)  >  0 and f\\ )k)  <  0 but that the Inada conditions are not satisﬁed. What possibilities does this lead to?

As alluded to above, the Inada conditions guarantee the existence of an interior steady state k*  > 0. For simplicity, again suppose that g = n = 0. Consider two cases:

. If sf\ )0) < 6 :

Investment never exceeds depreciation.

The only steady state is the trivial k* = 0.

Capital shrinks toward this steady state kt → 0.

. If sf\ )o) > 6 :

Investment is never less than depreciation.

Again, the only steady state is the trivial k* = 0.

Capital grows without bound, kt → o , away from this steady state.

Notice that the usual Inada conditions f\ )0) = o and f\ )o) = 0 are suﬃcient to ensure these cases do not arise, but are not necessary. The necessary conditions are that s

6

The linear production function y = f )k) = k implies that one of these Inada conditions fails, which one depends on the magnitudes of s and 6 .